学了这么多年线性代数，矩阵的实质是什么，线性变换原理通俗易懂理解

首先明白如下几点，有空会深入解释：

一、 设线性空间 Vn的一个基为 x 1 , x 2 , ⋯, x n , 对于任意x ∈ Vn，x是一个向量, 有 x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n , 则 x 在该基下的坐标为( a 1 , a 2 , ⋯, a n )T

二、矩阵T（取名为变换矩阵）对一个向量x（看出一个点）左乘就是对这个点进行坐标变换，即变换到其他坐标y了，也就是其他位置，即 y = Tx。其实就是x的两个元素为系数对T的列向量进行线性组合后得到新的向量y。

三、（这里原坐标系都是指的标准坐标系E=(e1,e2)这样的）实际上这个变换矩阵的列向量就是新的基（就是说，矩阵是可以看成列向量的组合而来，实际上这些列没有任何关系，比如T=(t1,t2)，这里t1看成一个向量，t2也一样，实际上Y = (y1,y2)，

看成Y= ET=T，E为标准坐标系（那么E是单位矩阵），Y就是新的坐标系，其实就是y1 = （e1 e2）t1，y2 = （e1 e2）t2），而变换矩阵的每个列向量t1，t2是由两个元素组成，实际上y1 = （e1 e2）t1就是说明了新的坐标系的一个基是由旧的坐标系的基（e1，e2）线性组合而来，即y1=t11*e1+t12*e2，同理y2也是如此来的。这里t11表示变换矩阵T的第一个列向量t1的第一个元素。如果原坐标系不是E了，那么换成其它坐标系同样对的。实际上这里的T就是过渡矩阵，指的是从坐标系E改变（过渡）到新坐标系Y所使用的线性组合的系数按照列向量排列起来的一个矩阵（一般而言称为变换矩阵，但是不同作用矩阵取名不一样，比如旋转矩阵，过渡矩阵，平移矩阵等等，但是实质都是此矩阵的列向量的各元素作为系数对左边相乘的矩阵的列向量（坐标系的基）进行线性组合，这样就解释了矩阵左乘是一种变换作用了，就是这个矩阵就是新的坐标系的基T了，相乘的右边的向量或者矩阵就是一组线性组合用的系数（也叫做在新坐标系T下的坐标，比如一个向量的坐标，一个矩阵看成的是多个列向量的独立组合，所以是多组独立坐标））

而x的坐标原封不动用于这组新的基了，也就是同样的坐标用在不同的坐标系得到的绝对位置是不一样的了，在新坐标系T下的坐标为x，从而在标准坐标系下的坐标就改变了为y，如果没有经过T坐标系，那么在标准坐标系下坐标还是x

 

最后再贴上几个我自己学习时候关于这个记得笔记吧，主要是为了记录自己