概率论复习笔记（一）随机事件及其概率

基本概念

随机试验

（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；
（3）进行一 次试验之前 ，不能确定哪一个结果会出现 。

具有以上三个特征的试验叫做随机试验。 简称为试验，用记号 E 表示。

样本空间

把随机试验的所有基本事件组成的集合称为样本空间，常用$\Omega$来记。其中基本事件也称为样本点。

随机事件

随机试验中的每一个可能结果称为随机事件（简称为事件），常用大写字母A,B,C等表示。

不可能再分的事件称为基本事件；而由基本事件复合而成的事件，称为复合事件 。

事件分类

基本事件: 不可能再分的事件。
复合事件:由基本事件复合而成的事件。
必然事件: 一定发生的事件,记作$\Omega$。
不可能事件:一定不发生的事件,记作$\varphi$。

无 论 是 必 然 事 件 、随 机 事 件 还 是 不 可能 事 件 ， 都 是 相 对 “ 一 定 条 件 ” 而 言 的 。条 件 发 生 变 化 ， 事 件 的 性 质 也 发 生 变 化 。

事件及其运算关系

若记$\Omega$：样本空间,$\varphi$：不可能事件， e： 基本事件，A， B，… 为随机事件。则有事件之间的运算关系如下：

（1）包含关系：如果事件 A 发生必导致事件 B发生， 称事件 B 包含事件 A，记作A$\subset$B

（2）相等关系：如果A$\subset$B且B $\subset$A，则称事件A 与B 相等，记作 A=B；

（3）和事件：事件A与B中，至少有—个发生，记作$A\cup B$;

（4）积事件：事件 A、B同时发生，记作 $A\cap B$ (简记为 $AB$）；

（5）差事件： 事件 A与事件 B 的差事件,记作$A-B$，表示 A发生而 B不发生；

（6）互不相容（互斥）：若$ AB=\phi$，则称事件 A与事件 B互不相容；

（7）对立事件（余事件）： 事件B的对立事件记作$\overline{B}$， 表示事件B不发生； 若$ AB=\phi且A\cup B$ ，则称事件 A与事件B互逆， 即$\overline{A}=B,\overline{B}=A$。

对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件不一定是对立事件.

运算规律

（1）交换律：$A\cup B=B\cup A;A\cap B=B\cap A$

（2）结合律：$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C;A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

（3）分配律：$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (B\cup C);A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (B\cap C)$

（4）德·摩根律：$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B};\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

（5） 差积转换律：$A-B=A\overline{B}$

频率与概率

概率的统计定义

频率：在相同的条件下， 进行了 n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A发生的次数 $n_A$称为事件 A 发生的 频数 ，比值$\frac{n_A}{n}$ 称为事件 A发生的 频率 ，记作$f_n(A)$

频率的一般性质：

1. $0\le f_n(A)\le 1$
2. $f_n(\Omega )=1$
3. 可列可加性 ： 设$A_1,A_2,\cdots ,A_k$是两两互不相容的事件，有
   $$f_n(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_k)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+\cdots +f_n(A_k)$$

概率的统计定义：在随机试验$E$中， 当试验次数$n$逐渐增大时， 频率值 $f_n(A)$ 趋于稳定， 即在某个数$p$附近波动，称数为事件 A 的概率， 即 $P(A)=p$。当 n 很大时，$f_n(A)\approx p$。人们总是用$n$很大时$f_n(A)$ 作为 $P(A)$ 的近似值， 即$P(A)\approx f_n(A)(n很大)$。

概率的公理化定义

设$ \Omega$是一样本空间，称满足下列三条公理的集函数$P(·)$为定义在$n$上的概率：

1. 非负性:对任意事件 A，$P(A)\ge 0$;

2. 规范性:$P(n)=1$;

3. 可列可加性:若两两互不相容的事件列$ \lbrace A_n\rbrace$是可列的， 则
   $$P(\sum _{i=1}^{\infty }{A}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_i)$$

概率的性质

1. $P(\varnothing )=0.$
2. 有限可加性:若$n$个事件$A_1,A_2,\cdots ,A_n$两两互不相容， 则$P(A_1+A_2+\cdots +A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)$
3. 相互对立两事件概率之和为 1， 即$P(A)+P(\overline{A})=1.$
4. 若$A\subset B$，则有$P(B-A)=P(B)-P(A).$
5. $0\le P(A)\le 1.$
6. $P(A)=1-P(A).$
7. 加法公式:若A，B 是任意两个事件， 则$P( A\cup B ) = P( A ) + P( B ) - P( A B ). $

等可能概型（ 古典概型 )

古典概型：

具有下列两个特点的试验称为古典概型试验。

1. 每次试验只有有限种可能的试验结果；
2. 每次试验中，每个基本事件出现的机会都是均等的；

对于古典概型试验， 事件 A 发生的概率为
$$P(A)=\frac{A中基本事件数}{n中基本事件数}=\frac{m}{n}$$

计算古典型概率 P(A) 的关键是找出 A 中的基本事件数， 在计算过程中常常用到排列组合的知识， 有时也需要用列举法逐一分析 A 中的基本事件.

不放回抽样： 第一次抽取后， 不放回， 第二次从剩余的样本中抽取 。

放回抽样： 第一次抽取后， 观察后放回， 搅匀后再抽取.则第二次抽取前的情况和第一次抽取前的情况相同 。

常用排列与组合的公式

不重复排列公式： 从$n$个不同元素中任取$m$个不同元素按照一定的顺序排成一列， 其排列数为
$$P_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$
可重复排列公式： 从$n$个不同元素中有放回地抽取$m$个元素， 按照一定顺序排成一列， 其排列总数为 $N=n^m$

组合公式： 从 " 个不同元素中每次取出个不同元素， 不考虑顺序组成一组， 其组合总数为
$$C_n^m=\frac{1}{m!}{P}_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$
组合性质 :
$$C_n^m=C_n^{n-m};C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1};\sum _{r=0}^m{C}_{n_1}^r{C}_{n_2}^{m-r}=C_{n_1+n_2}^m;\sum _{m=0}^m{C}_n^m=2^n$$
加法原理： 如果完成一件工作有$m$个不同方法， 其中任何一个方法都可一次完成这件工作。假设第$i$个方法有$n_i$个方案，$i=1,2,\cdots ,m,$ 则完成该工作的全部方案有$n_1+n_2+\cdots +n_m$个 。

乘法原理： 如果一件工作需先后经$m$个不同步骤才能最后完成， 其中第$i$个步骤有$n_i$个不同方案,$i=1,\cdots ,m,$则完成该件工作共有$n_1{n}_2\cdots n_m$种不同方案。

几何概型

几何概型 ： 如果随机试验的样本空间是一个区域(例如直线上的区间、平面或空间中的区域） ， 而且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么事件 A 的概率为
$$P(A)=\frac{A的测度(长度、面积、体积）}{样本空间的测度(长度、面积、体积V)}$$

几何概率的计算中往往需要利用定积分及重积分求面积或体积

条件概率

定义

条件概率 ：设两事件 $A,B$ 且$ P(A)> 0,$则称
$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
为事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的条件概率 。

性质

条件概率与概率有相同的性质 ：

1. 对任意事件B，$0\le P(B\mid A)\le 1$

2. $P(\Omega \mid A)=1$

3. 若$B_1,B_2,\cdots$是两两互斥事件，则有
   $$P(\bigcup _{i=1}^{\infty }{B}_i\mid A)=\sum _{i=1}^{\infty }P(B_i\mid A)$$

4. 对任意两事件$B_1,B_2,$有 $P(B_1\cup B_2\mid A)=P(B_1\mid A)+P(B_2\mid A)-P(B_1{B}_2\mid A).$

① 条件概率与一般概率的区别.

条件概率是指在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率.条件概率是以 A 这样一个新的样本空间来考虑问题的 ；

一般概率是以基本事件的总数构成的样本空间来考虑的.

② 注 意 条 件 概 率 和 乘 法 之 间 的 区 别.

P(BA)表示 A 发生并且 B 发生的概率;

P(B|A) 表示在A 发生的条件下 B 发生的概率.

乘法公式

$$P(AB)=\{\begin{array}{ll}P(A)P(B\mid A),& \text{当P(A)>0}\\ P(B)P(A\mid B),& \text{当P(B)>0}\end{array}$$

全概率公式

划分：设$\Omega$为试验E的样本空间$,B_1,B_2,\cdots ,B_n$为$E$的一组事件.若

1. $B_i{B}_j=\varnothing ,i\ne j,i,j=1,2,\cdots ,n;$
2. $B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_n=\Omega$

则称$B_1,B_2,\cdots ,B_n$为样本空间$\Omega$的一个划分， 也称为完备事件组.
若$B_1,B_2,\cdots ,B_n$是样本空间的一个划分， 那么，对每次试验， 事件$B_1,B_2,\cdots ,B_n$中必有一个且仅有一个发生.

全概率公式：
设试验$E$的样本空间为 $\Omega$，A 为$E$的事件$,B_1,B_2,\cdots ,B_n$为 S 的一个划分， 且 $P(B_i)>0(i=1,2,\cdots ,n）,$则

$P(A)=P(A\mid B_1)P(B_1)+P(A\mid B_2)P(B_2)+\cdots +P(A\mid B_n)P(B_n)$称为全概率公式。

贝叶斯公式：

设试验$E$的样本空间为$\Omega$。A为$E$ 的事件为 S$,B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 的一个划分， 且 $P(A)>0,P(B_i）>0(i=1,2,\cdots ,n）,$
$$P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(A\mid B_j)P(B_j)},i=1,2,\cdots ,n.$$
则称为贝叶斯(Bayes)公式 。

独立性

两事件的独立性

设 A，B 是两事件， 如果满足等式$P(AB)=P(A)P(B),$则称事件 A，B 相互独立， 简称 A，B 独立。

容易知道， 若$P(A)>0，P(B)>0， $则A,B相互独立与 A，B 互不相容不能同时成立.

定理一:设 A，B是两事件， 且$ P(A)> 0.$若A,B相互独立，则$ P( B|A) = P(B).$反之亦然.

定理二:若事件 A，B 相互独立,则下列事件也相互独立，$A$与$\overline{B}$,$B$与$\overline{A}$,$\overline{A}$,与$\overline{B}$,
$$\begin{gathered} A与B独立 \\ \iff P(A\mid B)=P(A\mid \overline{B})=P(A)(0<P(B)<1). \\ \iff P(B\mid A)=P(\overline{B}\mid A)=P(B)(0<P(A)<1). \end{gathered}$$

三事件的独立性

两两独立:设 $A，B，C$ 是三事件， 如果
$$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B),\\ P(BC)=P(B)P(C),\\ P(AC)=P(A)P(B),\end{array}$$
则称三事件两两独立。

相互独立:设 $A，B，C$ 是三事件， 如果
$$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B),\\ P(BC)=P(B)P(C),\\ P(AC)=P(A)P(B),\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\end{array}$$
则称 A，B，C 为相互独立的事件。

当事件 A，B，C 两两独立时， 等式 P( ABC ) =P(A)P(B)P© 不一定成立.
A，B，C 两两独立是 A，B，C 相互独立的必要条件但不是充分条件.

$n$个事件的独立性 ：

一般，设$A_1,A_2,\cdots ,A_n$是$n(n\ge 2)$个事件， 如果对于其中任意 2 个， 任意 3 个，…， 任意 n 个事件的积事件的概率， 都等于各事件概率之积，则称事件$A_1,A_2,\cdots ,A_n$相互独立.
推论：
(1) 若$A_1,A_2,\cdots ,A_n$相互独立， 则它们中的任何一部分事件也相互独立；
(2) 若$A_1,A_2,\cdots ,A_n$相互独立，则它们中的任何一部分事件换成各自的对立事件后所得到$n$个事件仍是相互独立的；
(3)若$A_1,A_2,\cdots ,A_n$相互独立，则
$$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=\prod _{i=1}^{n}P(A_i),\bigcup _{i=1}^{n}P(\overline{A_i})=1-\prod _{i=1}^{n}P(\overline{A_i}).$$

典型例题

用事件之间的运算关系表示事件

设A,B,C为三个事件，试用事件之间的运算关系表示下列事件

事件概率的计算

利用概率的性质求概率

利用古典概型求概率

利用几何概型求概率

利用条件概率求概率

小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？

事件A：小明得60分以上

事件B：小明得80分以上

P(B|A)：小明得60分以上时，小明得80分以上的概率

P(AB)：小明得80分以上的概率
$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{80\%}{85\%}=\frac{16}{17}$$

利用乘法定理求概率

利用全概率、贝叶斯公式求概率

某公司有小明与小红两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中小明与小红的概率都是50%，小明考核通过的概率是100%，小红考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，被抽中的员工是小红的概率。

设抽中的员工为小明，小红分别为事件$B_1，B_2$

$P(A)=P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)=50％\times 100％+50％\times 1％=50.5％$
$$\begin{gathered} P(B_2\mid A)=\frac{P(A\mid B_2)P(B_2)}{P(A)} \\ =\frac{50\%\ast 1\%}{50.5\%} \\ =\frac{1}{101} \end{gathered}$$

利用事件的独立性求概率

本章小结

六个概念：随机试验、随机事件、样本空间、频率、概率、事件的独立性;

三个公式：条件概率及乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式;

两个概型：古典概型、几何概型。

重点与难点

重点

1. 随机事件及事件间的运算关系。
2. 概率的公理化定义及概率的基本性质的应用。
3. 乘法定理及条件概率公式。
4. 事件的独立性及其应用。

难点

1. 概率的公理化定义及概率的基本性质的应用。
2. 古典概率的计算及条件概率、全概率公式和贝叶斯(bayes)公式的应用。