现代数字信号处理——功率谱和信号频率估计

如何使用随机过程$u(n)的N$个观测数据$u_N(0),u_N(1),\cdots ,u_N(N-1)$估计出随机过程的功率谱$S(w)$。估计方法分为三个流派：

• 1.经典功率谱估计
• 2.参数模型法估计
• 3.基于相关矩阵特征分解的信号频率估计

一、经典功率谱估计

\quad 基于传统傅里叶变换的思想，有BT法和周期图法及其相关改进。

1、BT法

\quad 已知N个观测值$u_N(n)$，则$u(n)$的自相关函数估计值为$$\hat{r}(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{u}_N(n)n_N^{\ast }(n-m),|M|\le N-1$$根据维纳=辛钦定理可以得到功率谱估计值：$${\hat{S}}_{BT}(w)=\sum _{m=-M}^M\hat{r}(m)e^{-jwm}$$ \quad BT法需要先计算自相关函数估计值，再以此为依据估计功率谱密度，称为间接法估计。显然这是一个$n^2$级别的算法，如果观测点数目较多则难以计算，因此使用FFT加速计算过程。
\quad 接下来，我们来看看自相关函数的估计性能，即估计值与真实值的差距，已知$$\begin{gathered} \hat{r}(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{u}_N(n)n_N^{\ast }(n-m) \\ r(m)=li{m}_{N\to \infty }\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{u}_N(n)n_N^{\ast }(n-m) \\ 故而，E\{\hat{r}(m)\}=\frac{N-|m|}{N}r(m) \end{gathered}$$

• 1.固定$|m|$，当$N\to \infty$时，$E\{\hat{r}(m)\}=r(m)$，$\hat{r}(m)$是对$r(m)$的渐进无偏估计
• 2.固定$N$，$|m|$越接近$N$时估计的偏差越大

\quad 另一种估计是$\hat{r}(m)=\frac{1}{N-|m|}{\sum }_{n=0}^{N-1}{u}_N(n)n_N^{\ast }(n-m)$，此时$E\{\hat{r}(m)\}=r(m)$，是无偏估计。

2、周期图法

\quad $$\begin{gathered} \hat{r}(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{u}_N(n)n_N^{\ast }(n-m)=\frac{1}{N}{u}_N(m)u_N^{\ast }(-m) \\ 两边取傅里叶变换，得到{\hat{S}}_{PER}=\frac{1}{N}|U_N(w){|}^2,U_N(w)=\sum _{n=1}^{N-1}{u}_N(n)e^{-jwn} \end{gathered}$$

\quad 周期法和BT法异同：

• 当$M=N-1$时二者相同时一样
• 当$M<N-1$时BT法相当于是对长度为$2N-1$的$\hat{r}(m)$进行了截断处理，即加了一个矩形窗，所以BT法相当于是对周期法的平滑。

3、Bartlett法

\quad 周期图法估计出的谱性能不好，当观测数据太长时谱的曲线起伏加剧；数据太短时分辨率不好（观测点越多分辨率越高）。Bartlett法的思想是：将N个观测点分为L段，每段长度为$M=N/L$。对于每段数据先使用周期图法求其功率，再对每段功率谱结果平均，得到平均周期图。
\quad Bartlett法功率谱估计频率分辨率下降为原来的$1/L$，方差也减小为原来的$1/L$。因此，Bartlett估计的功率谱比周期图法估计的功率谱更加平滑。

4、Welch法

\quad Welch法又称修正平均周期法，是对Bartlett法的改进。Welch法也是对N个观测点分段，与Bartlett不同的是，Welch法允许各段的信号点有所交叠，通常取相邻两端信号交叠的一半。若每段信号长度为$M$，信号被划分为$L=\frac{N-M/2}{M/2}$段。将每段信号与窗函数$w(n)$相乘后得到每段的功率谱估计，最后加权得到功率谱估计。
\quad Welch法运行分段数据样本的重叠，于是可以得到更多的周期图估计，从而进一步减小功率谱密度的方差。通过窗函数的加权，可以减小样本段之间的相关性。

二、