二分答案

P1181 数列分段Section I

P1182 数列分段 Section II

题目描述

对于给定的一个长度为N的正整数数列A-iA−i，现要将其分成M(M≤N)M(M≤N)段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

关于最大值最小：

例如一数列4 2 4 5 142451要分成33段

将其如下分段：

[4 2][4 5][1][42][45][1]

第一段和为66，第22段和为99，第33段和为11，和最大值为99。

将其如下分段：

[4][2 4][5 1][4][24][51]

第一段和为44，第22段和为66，第33段和为66，和最大值为66。

并且无论如何分段，最大值不会小于66。

所以可以得到要将数列4 2 4 5 142451要分成33段，每段和的最大值最小为66。

输入格式

第11行包含两个正整数N，M。

第22行包含NN个空格隔开的非负整数A_iAi​，含义如题目所述。

输出格式

一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

输入输出样例

输入 #1复制

5 3
4 2 4 5 1

输出 #1复制

6

说明/提示

对于20\%20%的数据，有N≤10N≤10；

对于40\%40%的数据，有N≤1000N≤1000；

对于100\%100%的数据，有N≤100000,M≤N, A_iN≤100000,M≤N,Ai​之和不超过10^9109。

二分答案： 在所有可行解中 二分猜 最优解（类似于猜数字游戏）

而且在所有可行解中 存在单调性和 存在上下界   则可根据单调大了还是小了  从而最快找到最优解

 

博客

 

我们考虑把这个词典从中间分开，看一下中间那一页的主要单词都是啥，然后去判断我要找的单词应该在左半部分还是右半部分，再去那一部分考虑怎么找就好了。同样的，在另一部分也是要进行划分并且判断的操作。这样一直进行下去，便能很快的找到答案，而且根本不需要翻过整个词典来。

可以证明，如果一页一页的找，最多要找 nn 次，但是用这个方法，最多找floor(log2n)floor(log2n)次。

我们把这个方法叫做“二分答案”。顾名思义，它用二分的方法枚举答案，并且枚举时判断这个答案是否可行。但是，二分并不是在所有情况下都是可用的，使用二分需要满足两个条件:

1.有上下界

2.区间有单调性

二分答案应该是在一个单调闭区间上进行的。也就是说，二分答案最后得到的答案应该是一个确定值，而不是像搜索那样会出现多解。二分一般用来解决最优解问题。刚才我们说单调性，那么这个单调性应该体现在哪里呢？

可以这样想，在一个区间上，有很多数，这些数可能是我们这些问题的解，换句话说，这里有很多不合法的解，也有很多合法的解。我们只考虑合法解，并称之为可行解。考虑所有可行解，我们肯定是要从这些可行解中找到一个最好的作为我们的答案， 这个答案我们称之为最优解。

最优解一定可行，但可行解不一定最优。我们假设整个序列具有单调性，且一个数x为可行解，那么一般的，所有的 x'(x'y)y′(y′>y) 都是非法解。

那么什么时候适用二分答案呢？注意到题面：使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。如果题目规定了有“最大值最小”或者“最小值最大”的东西，那么这个东西应该就满足二分答案的有界性（显然）和单调性（能看出来）。

示例代码
#include //万能头文件
using namespace std;
int n, m, x, f[100001], p, l, r, mid, sum, ans, maxn;//f数组前缀和，sum为分割数列的段数，ans为最终答案，maxn为数列中的最大值
int main(){
    scanf ( "%d %d", &n, &m );
    for ( int i = 1; i <= n; i++ )
    scanf ( "%d", &x ), f[i] = f[i-1] + x, maxn = max ( maxn, x );//前缀和与找出最大值
    l = maxn, r = f[n];//定义二分的区间
    while ( l <= r ){
        mid = ( l + r ) >> 1;//二分套路不解释
        p = 1, sum = 1;//初始就有1段，p为当前分段位置
        for ( int i = 2; i <= n; i++ ){
            if ( f[i] - f[p-1] > mid )//如果第i~p-1个数的和大于mid
            p = i, sum++;//当前位置为i，段数+1
        }
        if ( sum > m ) l = mid + 1;//如果段数大于m，搜后半段
        else r = mid - 1, ans = mid;//符合要求，把mid赋值给ans，搜前半段
    }
    printf ( "%d\n", ans );//输出答案
    return 0;
} 

AC代码：

#include
using namespace std;
int n,m,maxx=0,sum=0;
int num[100005];
int ans(int mm)
{
	int res=0;
	int summ=0;
	for(int i=0;i=mm)
		{
			res++;
			summ=0;
			continue;
		}
		else if(summ&&summ+num[i+1]>mm&&i0) res++;
	
	return res;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;im)
		{
			l=mid+1;
		}
		else 
		{
			r=mid;
		}
		 
	}
	cout<