二维随机变量函数卷积公式的推导

二维随机变量函数卷积公式的推导

@(概率论)

给定 Z=g(x,y)
通常需要求 FZ(z),fZ(z)

这里是由两个变元依据关系映射到一个变元，因此，求得 FZ(z) 后，很容易求得 fZ(z) ,只是一个求导的过程。

一般求解 FZ(z) ，可用的思路是：

FZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)=∫∫g(x,y)≤zf(x,y)dxdy

化为二重积分求解，可以得到的是关于z的方程，思路很清晰。操作要仔细。

特殊的情景是， Z=X+Y 这种，当然可以按照一般 方法做，但是特殊性赋予了这类问题以规律，因此有公式解法。

FZ(z)=P(X+Y≤z)=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫+∞−∞dx∫z−x−∞f(x,y)dyor=∫+∞−∞dy∫z−y−∞f(x,y)dx

接下来是对变上限求导的应用，因为我们需要对z求导，上限是 ϕ(z)=z−x
[∫ϕ(x)af(t)dt]′x=f(ϕ(x))ϕ(x)′

所以，这里运用起来就是：

fZ(z)=[∫+∞−∞dx∫z−x−∞f(x,y)dy]′=∫+∞−∞f(x,z−x)dx

更加特别的是，如果X，Y相互独立，还可以得出：

fZ(z)=∫+∞−∞fX(x)fY(z−x)dx

这是推导一种情况，从中可以看到变化的应用方式，比如 Z=X−Y ,如果对 x 求导，则只用 y=x−z 代入即可。

这就是由基本原理推导出来的公式，因为有区分度，所以这类也很重要。原理要熟知，推导要快，最好是熟练掌握。