统计学习方法-李航（第5章 决策树笔记)

这篇文章从思想的角度上看李航所表述的决策树，用简单易理解的方向去解释决策树。提出常见的三种决策树方法ID3,C4.5，同时分析他们的不同。（具体的理论部分参考原文）

一、决策树的认识： 这本书中提出的机器学习的三要素：模型、策略、算法。
1，模型： 分类决策树模型是一种描述对实例进行分类的树形结构。决策树由结点(node)和有向边(directed edge)组成。结点有两种类型：内部结点(internal node )和叶结点(leaf node)。内部结点表示一个特征或属性，叶结点表示一个类。（简单说就是用我们熟悉的树结构去做回归和分类）

2，策略： 学习决策树的策略，也就是决策树的损失函数在原文决策树剪枝部分介绍。简单理解就是：正则化的极大似然函数，也就是模型对数据的拟合程度与模型复杂度（叶子的个数）的和。

3，算法： 决策树的学习算法分为三步：首先递归的选择特征、用选择的特征构造一个决策树、解决过拟合进行决策树剪枝。

二、特征选择：特征选择问题：特征选择在于选取对训练数据具有分类能力的特征。通常特征选择的准则是信息增益或信息增益比。

1，信息增益：
（1）信息熵与条件熵：
信息熵H(x)：代表的是随机变量不确定的度量，熵是平均信息量，熵越大，不确定性越大，信息量就越大。
条件熵H(y|x)：代表的是一致随机变量X的条件下随机变量y的不确定性的度量。

当熵和条件熵中的概率由数据估计(特别是极大似然估计)得到时，所对应的熵与条件熵分别称为经验熵( empirical entropy)和经验条件熵(empirical conditional entropy )。

（2）信息增益：得知特征X的信息而使得类Y的信息的不确定性减少的程度，也是特诊X的信息量。特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)，定义为集合D的经验嫡H(D)与特征A给定条件下D的经验条件嫡H(D|A)之差，即

2，信息增益比：特征A对训练数据集D的信息增益比定义为其信息增益g(D,A)与训练数据集D的经验H(D)之比:

三、决策树的生成：
这里分别介绍了ID3,C4.5决策树的生成方法：

1,ID3:id3算法简单的说就是每次选择信息增益最大的特征进行分类，然后根据选择的特征构建整个树。

2,C4.5:c4.5与之不同的就只有每次选择特征的时候用的是信息增益比。

四、剪枝：剪枝的目的是因为在决策树的构建过程中是去尽可能的拟合数据，这样可能会导致过拟合，最极端的情况就是每一个样本一个叶子。剪枝是利用损失函数来做的，让损失函数小。

1，损失函数：损失函数的定义为数据的拟合程度与模型复杂度的和，等价于正则化的极大似然估计。

理解：它的第一项其实是是每个叶子的不确定和，第二项是叶子的个数，二者有一个正则化参数进行平衡。

2，剪枝： 剪枝其实就是当正则化参数 确定时，选择损失函数最小的模型。

也就是每次对内部节点进行移除，条件是移除可以使得我们的损失函数变小。

五、CART算法： 这是另外一个构建决策树的算法，它构建的是一个二叉决策树。模型同样由特征选择、树的生成及剪枝组成，既可以用于分类也可以用于回归。 CART算法由以下两步组成：决策树生成：基于训练数据集生成决策树，生成的决策树要尽量大；决策树剪枝：用验证数据集对己生成的树进行剪枝并选择最优子树，这时用损失函数最小作为剪枝的标准。

1，最小二乘回归树，CART回归树的生成： 它每次选择的是一个空间划分（j,s），j代表第j个特征，s是这个特征取的值。让后根据选择划分构建树。

2，分类树的生成： CART分类树的生成与之前ID3一样，每次选择的特征是选择的特征使得数据的不确定越小越好，只是表示的不确定性变成了基尼指数。

3，CART剪枝： CART剪枝算法由两步组成，首先从生成算法产生的决策树T0底端开始不断剪枝，直到T0的根结点，形成一个子树序列代｛T0,T1,…,Tn｝；然后通过交叉验证法在独立的验证数据集上对子树序列进行测试，从中选择最优子树。

(1) 剪枝。 算法的剪枝同样是利用损失函数来做。对于固定的a，一定存在损失函数最小的子树；可以用递归的方法对树进行剪枝，将a从小增大，产生一系列的区间[ai，ai+1)，i =0,1,…,n；剪枝得到的子树序列对应着区间[ai，ai+1)，i =0,1,…,n的最优子树序列{T0, T1, … , Tn}，序列中的子树是嵌套的。（简单说就是改变a，得到一系列对应的最优决策树）

(2) 选择最好的。在剪枝得到的子树序列T0, T1, … , Tn中通过交叉验证选取最优子树Ta，平方误差或基尼指数最小的决策树被认为是最优的决策树。