浅谈随机游走

基于看一些使用到了随机游走的相关文献，整理一下常用的公式和性质.

随机游走(random walk)矩阵可以看做是马尔科夫链的一种特例。对于一个图G的邻接矩阵A来说，A中的非零元素描述了图G中每一条边的权重（这里一般要求A的对角线为零）。这个权重描述了节点之间的相似性。如果我们对A进行按行归一化，即

P=D−1A,

D是A的度矩阵，是一个对角阵，对角线元素D(i,i)=∑jA(i,j)。这样的到的矩阵P就是一个随机游走矩阵。每个点与其他所有节点的跳转概率之和为1，

∑jP(i,j)=1.

一个随机游走矩阵对应的是一个遍历的马尔科夫链，也就是说任意两个状态之间都可以互相到达。从任意状态at出发，经过一步转移，下一时刻的概率为

at+1=atP.

这样一直进行下去，经过一定时间可以到达稳态(equilibirum state)。所谓稳态，就是说状态的概率分布不再进行变化： πP=π.这里 π就是稳态。仔细观察这个方程，可以看出稳态实际上就是随机游走矩阵特征值1所对应的特征向量。另外一个计算稳态的方法是 π=D(i,i)/∑i∑jA(i,j).

马尔科夫链的基础矩阵定义为:

Z=(I−P−W)−1.

其中I是一个单位阵，P为对应的随机游走矩阵，W是将稳态按行堆叠形成的矩阵。对于一个正规的马尔科夫链（即P的任何次方都没有负值的元素），W可以看做 Pn中n趋于无穷大的情况。通过基础矩阵，我们可以计算马尔科夫链的很多特性。其中主要包括了各种访问时间:

• 从状态i出发返回状态i的时间期望：EiT+i=1/πi
• 从状态i出发，回到状态i之前，访问状态j的次数期望：EiVj(T+i)=πj/πi
• 从状态i出发，到达状态j的时间期望:EiTj=EiT+i⋅(Zj,j−Zi,j)
• 从状态j出发，到达状态i之前，访问状态j的次数期望(i≠j)：EiVj(Tj)=πj(EjTi+EiTj)
• 从状态i出发，到达状态l之前，访问状态j的次数期望(i≠l)：EiVj(Tl)=πj(EiTl+ElTj−EiTj)
• 从稳态出发，到达状态i的时间期望：EπTi=EiT+i⋅Zi,j
• 从稳态出发，到达状态i之前，访问状态j的次数：EπVj(Ti)=EiT+iEjT+jZi,i−Zi,j

下面给出三个定理:

1. 对状态i≠j，Pi(Tj<T+j)=1πi(EiTj+EjTi)
2. 对状态i≠l,j≠l,  Pi(Tj<Tl)=EiTl+ElTj−EiTjEjTl+ElTj
3. 对任意状态i，∑jEiTjEjT+j=∑jZj,j,

注：上述标记中，上标的加号代表不计算初始时间，也就是如果从状态i出发经过n步回到状态i，那么Ti=0,T+i=n.

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