高等代数 | 矩阵相关总结

矩阵速记

1. 阵

1.1. 特殊

${\mathbb{R}}^{n\times n}$	$A^{-1}$	$A^{\star }$	$A^T$	$kA$	$A+B$	$AB$	apdx
可逆	$✓$	$✓$	$✓$	$k\ne 0$	$\times$	$✓$	过渡矩阵必可逆; $(kA{)}^{\star }=k^{n-1}{A}^{\star },|A^{\star }|=|A{|}^{n-1}$; $\Lambda (A^{-1})={\Lambda }^{-1}(A),\Lambda (A^{\star })=|A|/\Lambda (A)$; 正(负)定必可逆
对称	$✓$	$✓$	$✓$	$✓$	$✓$	$\times$	$A$反$B$对，则$AB-BA$对称; 任意矩阵$C$：$C^{T}C$对称(取转置); 实对称阵特征值全实1; 实对称阵必可正交相似于对角阵; 属于实对称阵不同特征值的特征子空间彼此正交2
反 对称	$✓$	奇对 偶反 3	$✓$	$✓$	$✓$	$\times$	$det(A)=0$ (奇数阶); $\lambda \sum X_i^2=X^{T}Ax=-X^T{A}^{T}X=$ $-(AX{)}^{T}X=-\lambda \sum X_i^2=0\Rightarrow \Lambda =O$; $A^2$ 对称
正交	$✓$	$✓$	$✓$	$k=\pm 1$	$\times$	$✓$	$det(A)=\pm 1$;
正定	$✓$	$✓$	$✓$	$k>0$	$✓$4	$AB=BA$5; $ABA$必正定	度量矩阵必正定; 正定定义：$\forall X\ne 0,X^{T}AX>0$; 任意矩阵$C$：$C^{T}C$半正定6; 绝对值最大元必在主对角线上7; 涉及到$A+kE$正定性：用 $Q^T(A+kE)Q=\left[\begin{array}{ccc}k+{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & k+{\lambda }_n\end{array}\right]$ 或 $\Lambda (\mathcal{P}(A))=\mathcal{P}(\Lambda (A))$ ; 涉及到$k{X}^{T}X$：用 $A=Q\Lambda Q^T,$ $X^{T}AX=X^{T}Q\Lambda Q^{T}X=Y^T\Lambda Y$ $\gtrless k{Y}^{T}Y=k{X}^{T}Q{Q}^{T}X=k{X}^{T}X$
幂零	不可	$✓$	$✓$	$✓$	$\times$	$AB=BA$	$A^k=0\Rightarrow A^{k}X={\lambda }^{k}X=0\Rightarrow \Lambda =O$ $det(A\pm E)=(\pm 1{)}^n$8

1.2. 初等

mat	det	-1	T	apdx
$E(i,j)$	$-\vert E\vert $	self	self	是正交阵
$E(i(k))$	$k\vert E\vert $	$E(i,\frac{1}{k})$	self	\
$E(i,j(k))$	$\vert E\vert $	$E(i,j(-k))$	$E(j,i(k))$	$r_i+=k\times r_j$

1.3. 秩

eq	apdx
$P,Q$可逆，$R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)$	相抵保秩
$R(\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right])=R(A)+R(B)$	相抵标准型
$R(AB)\le \min \{R(A),R(B)\}$	$squ(AB)\ge \max \{squ(A),squ(B)\}$
$R(AB)\ge R(A)+R(B)-n$	$squ(AB)\le squ(A)+squ(B)$
$AB=O\to R(A)+R(B)\le n$	上面的特殊情况
$R(A)-R(B)\le R(A\pm B)\le R(A)+R(B)$	联想绝对值三角

1.4. 迹

eq	apdx
任何可乘的$A,B$，$tr(AB)=tr(BA)$	乘法过程

2. 换

约定：某一向量在基底 $A$ 下坐标为 $X$，在基底 $B$ 下坐标为 $Y$。$A$ 到 $B$ 的过渡矩阵是 $P$，即：$\{\begin{array}{l}AP=B\\ X=PY\end{array}$

2.1. 相似

• 现有一线性变换，变换矩阵在 $A$ 下是 $T$，在 $B$ 下是 $S$，变换后新向量在两基底下坐标分别记为 $X_1,Y_1$

• 即：$\{\begin{array}{l}{Y}_1=SY\\ Y_1=P^{-1}TPY\end{array}$⁹ 和 $\{\begin{array}{l}{X}_1=TX\\ X_1=PS{P}^{-1}X\end{array}$

• 则有：  $S=P^{-1}TP$ 和 $T=PS{P}^{-1}$

• 当 $A$ 是 $E$ 时，$P=B$，上式化为：$S=B^{-1}TB$ 和 $T=BS{B}^{-1}$

2.2. 合同

• 现有一双线性型运算，度量矩阵在 $A$ 下是 $T$，在 $B$ 下是 $S$，做内积的对象在两基底下坐标分别记为 $X_1,Y_1$

• 则：$\{\begin{array}{l}(Y,Y_1)=Y^{T}S{Y}_1\\ (Y,Y_1)=(PY{)}^{T}TP{Y}_1=Y^T{P}^{T}TP{Y}_1\end{array}$ 和 $\{\begin{array}{l}(X,X_1)=X^{T}T{X}_1\\ (X,X_1)=(P^{-1}X{)}^{T}S{P}^{-1}{X}_1=X^T(P^{-1}{)}^{T}S{P}^{-1}{X}_1\end{array}$

• 则有：$S=P^{T}TP$ 和 $T=(P^T{)}^{-1}S{P}^{-1}$

• 当 $A$ 是 $E$ 时，$P=B$，前式化为：$S=B^{T}TB$ 和 $T=(B^T{)}^{-1}S{B}^{-1}$

2.3. 四大

proc	F	invar	eqv	apdx
相抵	$R^{m\times n}$	$R$	相抵标准形 $\left[\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right]$	不降维的变换(保持秩)
相似	$R^{n\times n}$	$R$，特征($\Lambda ,det,tr$)	特征对角阵 $\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]$	换基时线性变换的变换 线性变换本质(特征)不变 描述(变换矩阵)改变 $T\sim S,S=P^{-1}TP$
合同	$R^{n\times n}$ (实对称)	$R$，正定性($p,q$)，对称性	二次型标准形 $\left[\begin{array}{ccc}{E}_p& & \\ & E_q& \\ & & O\end{array}\right]$	换基时双线性型的变换 双线性型本质(拓扑)不变 描述(度量矩阵)改变 $T\dot{=}S,S=P^{T}TP$
正交 相似	$R^{n\times n}$ (实对称)	$R$，特征($\Lambda ,det,tr$)， 正定性($p,q$)，对称性	特征对角阵 $\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]$	特殊换基(旋转/反映/反演) 同时保持上两者性质

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1. 实对称阵特征值全实：$X\in \{{\mathbb{C}}^n-O\},\lambda \in \mathbb{C}:AX=\lambda X$
   $\Rightarrow {\overline{X}}^{T}AX=\overline{X}\lambda X=\lambda \overline{X}X=\lambda \sum X_i^2$。
   又 $\overline{{\overline{X}}^{T}AX}=\overline{({\overline{X}}^{T}AX{)}^T}={\overline{X}}^T{\overline{A}}^{T}X={\overline{X}}^{T}AX$，即 ${\overline{X}}^{T}AX\in \mathbb{R}$
   故 $\lambda$ 可以写成一个实数除以 $\sum X_i^2$ 这个非零实数，结果必定是实数，证毕！
   ↩︎

2. 实对称阵特征子空间正交：$X_1,X_2\in \{{\mathbb{R}}^n-O\},{\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}:$
   ${\lambda }_1{X}_1^T=X_1^T{A}^T=X_1^{T}A$
   $\Rightarrow {\lambda }_1{X}_1^T{X}_2=X_1^{T}A{X}_2={\lambda }_2{X}_1^T{X}_2$
   $\Rightarrow ({\lambda }_1-{\lambda }_2)X_1^T{X}_2=0$，显然证毕！
   ↩︎

3. 反对称阵的伴随（奇对偶反）：$(A^{\star }{)}^T=(A^T{)}^{\star }=(-A{)}^{\star }=(-1{)}^{n-1}{A}^{\star }$
   ↩︎

4. 证和矩阵的正定性：常用定义（$\forall X\ne 0,X^{T}AX>0$）证正定进而证可逆。
   如果$A,B$并不是正定的而是实对称+反对称的，可能还会涉及
   $X^T(A+B{)}^T(A+B)X=X^T{A}^{T}AX+X^T(A^{T}B+B^{T}A)X+X^T{B}^{T}BX$
   ↩︎

5. $AB=BA$证$AB$正定：$A$正定则合同于$E$，即存在可逆阵$P$：$P^{T}AP=E$
   $P$可逆，$AB$实对称则$P^{T}ABP$仍实对称，故可相似对角化，即即存在正交阵$Q$：$Q^T{P}^{T}ABPQ=\Lambda$
   带入$A=(P^T{)}^{-1}{P}^{-1}$得$\Lambda =Q^T{P}^T(P^T{)}^{-1}{P}^{-1}BPQ=(PQ{)}^{-1}BPQ$
   因此$\Lambda$正定，因此$P^{T}ABP$正定，因此$AB$正定，证毕！
   ↩︎

6. 任意矩阵$C$，$C^{T}C$半正定：$X^T{C}^{T}CX=(CX{)}^{T}CX=\sum (CX{)}_i^2\ge 0\Rightarrow C^{T}C$半正定。
   ↩︎

7. 正定阵绝对值最大元必在主对角线上，反证法：记绝对值最大元在 $a_{ij},i<j$，设列向量 $X={ϵ}_i-{ϵ}_j$
   则 $X^{T}AX=(a_{ii}-a_{ji})-(a_{ij}-a_{jj})=a_{ii}+a_{jj}-2a_{ij}<0$，与正定矛盾。
   ↩︎

8. 幂零阵 $det(A\pm E)=(\pm 1{)}^n$：$\Lambda (A)=O,\Lambda (\mathcal{P}(A))=\mathcal{P}(\Lambda (A))$
   $\Rightarrow \Lambda (A\pm E)=\pm 1$
   $\Rightarrow det(A\pm E)=(\pm 1{)}^n$
   ↩︎

9. $Y_1=P^{-1}TPY$ 详细变换过程：$Y_1=P^{-1}{X}_1=P^{-1}TX=P^{-1}TPY$ ↩︎