高等概率论和随机过程比较本质的介绍

关于研究生阶段的概率论主干课程，说得简单一些，就是在测度论的基础之上，将本科学过的内容重新梳理，逐步加深。先前也提到过，在没学测度论的时候，很多基本的概率概念和定理的数学论证是没有办法严格给出的，相应地很多内容没有办法讲透。因此，大致上研究生阶段的概率课程应包括《高等概率论》（测度论穿插其中学习），《随机过程论》以及《随机分析》这三门课。

关于高等概率论：

测度论。首先，我想尝试从概率论的需求角度，谈谈测度论大致要学些什么？大家知道，概率论本质上是对随机事件的发生可能性赋以一种合理的度量。那么，在数学上我们要将“事件”这个概念抽象化，这就是为什么我们要从“集合论”讲起，利用集合论的语言，我们把事件表示成某个集合中的子集而已。进一步，对于事件我们总免不了要进行一些运算，这时就有必要考虑由这些事件组成的集合，即集合的集合，在测度论中叫做集合类。随后，就是要对事件进行度量，也就是赋以相应的概率测度。这当中有很多技术细节，主要是围绕如何在一个空间中构造测度来进行的。总之，测度论的第一步就是要把测度空间建立起来，从而定义概率空间。测度论后面的内容，我们大致可以这样理解：由于概率论要考虑随机变量，所以引入可测函数的概念；由于要考虑期望等数字特征，所以引入测度积分的概念；由于要考虑条件期望，所以要学符号测度和R-N导数的概念；由于要考虑多维随机变量、联合分布以及独立性等问题，所以要引入乘积空间的概念。所以，测度论的概念在概率论中都有相应的内容。因此，一方面，我们说测度论为概率论提供了严格的数学语言，另一方面，概率论也让测度论变得越发生动。
极限理论。概率论中的极限理论内容很多，其中很多部分也是现代测度论的核心内容。从概率的角度来看，概率的极限理论大致分为以中心极限定理为代表的“弱收敛”理论和以大数定律为代表的“强收敛”理论。不同的教材在这部分的处理上各有侧重。个人的建议对于大多数COS的读者，还是应该侧重有概率背景的相关内容。
具体到教材部分：
偏重介绍测度论知识的教材有

P. R. Halmos, Measure Theory(影印版), 世界图书出版社. （测度论经典教材）
严加安，测度论讲义，科学出版社。
将测度论与概率论结合起来的教材有

钟开莱，概率论教程(影印版)，机械工业出版社。(经典的研究生概率论教材)
P. Billingsley, Probability and Measure(影印版), 世界图书出版社.
A. N. Shiryaev. Probability(影印版), 世界图书出版社.
汪嘉冈，现代概率论基础，复旦大学出版社。
严士健，刘秀芳，测度与概率，北京师范大学出版社。
程士宏，测度论与概率论基础，北京大学出版社。
关于随机过程论：如果说本科应用随机过程是以学习马氏链和布朗运动这样的具体模型为主，那么在有了测度论的基础之后，在随机过程论的学习过程中，一方面我们要更加深入地学习像马氏链、跳过程和布朗运动这样的模型；另一方面也会接触到随机过程的一些一般性理论，例如以马氏半群理论为代表的马氏过程构造性理论，鞅论(martingale)，平稳过程以及遍历论(ergodic theory)等内容。有些教材也会把随机分析的若干内容放到随机过程论的课程当中。

国内编写的随机过程论方面的教材比较少，用得比较多的有钱敏平和龚光鲁合著的《随机过程论》。国外方面，这部分教材大致分为前苏联和美国两派。前苏联的教材体系完备，论证缜密；美国的教材一般会更活泼生动一些。

R. Durrett, Probability: Theory and Examples(影印版), 世界图书出版社. (在美广泛流行的教材，前半部分是概率论，后半部分是随机过程论)
布林斯基, 施利亚耶夫, 随机过程论(中译本), 高等教育出版社. (前苏联经典教材)
关于随机分析学：随着它在金融学当中日益广泛的应用，开设这门课的高校越来越多，所以选修这门课的同学当中，一般以上可能是金融数学专业的研究生。随机分析这门课，主要是学习随机积分(特别是Ito积分)，进而学习随机微分方程。这部分应该是概率论所有领域当中理论发展最为完备的分支，非常偏重分析学的风格。学习过程中，在大家正式接触其核心内容（Ito积分和随机微分方程）之前，教材一般要做很多理论上的铺垫。这个过程有点类似于咱们学定积分，在利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分之前，要花很多功夫在引入黎曼积分的定义上。所以一开始学的时候会略显枯燥，慢慢地接触到其核心部分之时，会领略这套理论的美妙。

教材方面，最流行的当属

B. φKsendal, Stochastic Differential Equations(影印版), 世界图书出版社.
另外，一些金融数学家编写的教材也很优秀，包括

I. Karatzas and S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus(影印版), 世界图书出版社.
国内方面的教材很少，比较常用地有龚光鲁编写的《随机微分方程引论》。

3. 结语

总而言之，关于概率论课程的训练，一方面是基于概率论公理化方面的数学训练，另一方面通过对具体概率模型的演算和掌握，加深对概率论物理直观的理解。当然，即便是同为统计学专业的同学，不同的发展需求决定了学习的目的和内容，立志要在Annals of Statistics上发表好文章和希望进入统计局工作的同学，自然会在概率课程的学习中各有侧重。更重要的是，现在谁都很难估计统计学会以什么样的路径发展。时光倒流30年，概率课程毫无疑问是统计学最核心的基础课程。现在，随着人们对数据的需求和认识逐渐发生根本性的转变，高通量高维数据的不断产生对传统统计思维和方法提出严峻挑战，我们已经看到有大量其它数学分支的研究成果被用于高维数据的处理和分析问题当中。但我相信，既然本质上概率论和统计学都在共同关注随机现象，共同面对“观测”所带来的困境，二者唇齿相依的关系就不会动摇。

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