Matlab使用杂谈1-微分方程求解及函数求导

计时代码

tic toc 计时器

tic
代码
toc
用于计算代码运行时间

微分方程求解

dsolve函数

用于解微分方程

y=dsolve('m*D2y+k*y=0','x') //无初始条件
y=dsolve('m*D2Y+k*y=0','Dy(0)=0','y(0)=x0','x') //有初始条件
** 注：D必须大写，如果需要解方程组则
[y1,y2]=dsolve('m*D2Y+k*y=0','m*D2Y+k*x=0','x')

ODE解微分方程

ode是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。不同类型有着不同的求解器，具体说明如下图。
[引用于https://blog.csdn.net/lynn15600693998/article/details/86597068]
龙格算法会产生龙格现象，使某一部分的数值产生较大误差，Admas方法属于多步法，计算相对复杂，但精度会高一些，而梯形算法的精度较低，一般不建议使用，想利用梯形算法的话可以采用精度较高的复化Cotes公式或复化Simposon公式，想了解的可以参考数值分析方法
一般而言，我们会先采用od45，即龙格算法来计算微分方程，如果计算时间较长或者失败，可以考虑刚性求解，一般先采用ode15s

ode45的具体使用

1)ode45的函数格式

[T,Y] = ode45(@function,tspan,y0)

[T,Y] = ode45(@function,tspan,y0,options)

[T,Y,TE,YE,IE] = ode45(@function,tspan,y0,options)

sol = ode45(@function,[t0 tf],y0…)

其中: function是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名；
tspan 是求解区间 [t0 tf]，或者一系列散点[t0,t1,…,tf]，采用一系列散点只会返回相应的点的值；
y0 是初始值向量；
options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等
T返回列向量的离散点；
Y 返回对应T的求解列向量；
TE 事件发生时间
YE 事件发生时之答案
IE 事件函数消失时之指针i

在进行ode计算时，需要首先对微分方程进行变量转换，需要将微分方程转换先转换为显示微分方程
下面以实例来说明转换步骤
Step 1
将微分方程的最高项移动到等式右边，然后将其他项都放在等式右边

如:
微分方程1：
需要转换为
Step2
为除最高阶外的多项式选择相应的状态参量

针对上述方程式：
x’’‘无需选择状态参量
其余参数状态参量分别为
x₀=x;
x₁=x’;
x₂=x’’;

Step3
根据上述参量及原微分方程写出新的一阶状态参量表达式
x₀‘=x₁;
x₁’=x₂;
x₂’=1/a（x₂+3x₁-5x-3);

利用转换好的状态参量表达式来写function，然后采用ode45计算

Function实例编写

针对原子自发辐射的经典模型，考虑辐射对电子的反作用力，可以得出电子的运动方程为

m为电子质量
x为电子偏离平衡位置的位移
w₀为谐振频率
γ称为经典阻尼系数

e为电荷量
ε₀为真空介电常数
c为光速
针对上述简谐振子模型，进行ode中Function的编写

function x=harmonicOscillator(y,t)
r=2;
w0=3;
% r 为经典辐射阻尼系数,wo为谐振频率，此时随意赋了两个值
x=[ t(2);
    -r*t(2)+w0*t(1)];
end

ode45求偏微分方程

x0=[1,0]; % 随意赋得初值
options=odeset('RelTol',1e-8);
tic
[t,xt1]=ode45(@harmonicOscillator,[0,20],x0,options)
toc
plot(xt1(:,1),t);

函数求导

diff（）函数是Matlab的符号函数求导。

diff（）使用说明：

diff(S,‘v’)——对表达式S中指定符号变量v，计算S的一阶导数

diff(S,‘v’，n)——对表达式S中指定符号变量v，计算S的n阶导数

diff（）应用实例

对于显函数的导数，如y=6x^3-4x2+x-5

diff('6x^3-4x^2+x-5')   %求y的一阶导数

diff('6x^3-4x^2+x-5',2) %求y的二阶导数

对于隐函数的导数，如z=sin(x^2)*y2

syms x  y

diff(sin(x^2)*y^2,2)   %求z对x的二阶偏导数

对于参数方程的导数，如y=1-t^4，x=1+t2

syms x  y t
dy=diff(1-t^4)   %求y对t的一阶导数
dx=diff(1+t^2)   %求x对t的一阶导数
dydx=dy/dx 
t=sqrt(x-1),eval(dydx)  %求y对x的一阶导数

参考文献

参考文档1