MIT_线性代数笔记_04_A的LU分解

MIT 公开课:Gilbert Strang《线性代数》课程笔记(汇总)


Lecture 4: Factorization into A = LU
课程 4:A的LU分解


LU分解

我们从另一种角度来看待 Gauss 消元。

首先考虑没有行交换的情形(也就是主元位置的元素不为 0)。

对矩阵 A 进行 Gauss 消元相当于用一系列初等矩阵左乘 A 从而得到上三角矩阵 U.

3×3 矩阵为例。

A 是一个 3×3 矩阵, E21,E31,E32 是初等矩阵( Eij (i,j) 位置的元素消为 0 ), U 是消元后所得到的上三角矩阵,即

E32E31E21A=U.

因此
A=E121E131E132U.


E=E32E31E21,L=E121E131E132,

则以上两式即为
EA=U,A=LU.

下面我们通过例子来说明为什么希望得到 A=LU 的形式而不是 EA=U.

不妨取

E21=120010001,E31=I,E32=100015001,


E=E32E31E21=1210015001,

L=E121E131E132=120010001100015001=120015001.

注意到矩阵 E (3,1) 位置出现了 10 ,为什么会产生 10 呢,这是因为我们首先将 A 的第一行的 2 倍加到第二行,又将第二行的 5 倍加到了第三行,这就相当于将第一行的 2×5=10 倍加到了第三行,因此这就导致了 E (3,1) 位置出现了 10 ,然而我们并不希望 10 出现,因为它不利于我们快速确定变换所用的矩阵。

而当我们写成 A=LU 的形式时,显然 L 是对角元全为 1 的下三角矩阵,且 L 下三角部分各位置的元素可通过消元过程快速确定, L (2,1),(3,2) 位置的元素即为消元的所用乘数 2,5 的相反数(差了一个负号是求逆的缘故)。

因此,我们只需记录消元所用的乘数,就能快速地确定矩阵 L (注意我们这里所讨论的是没有行交换的情形),不需要进行任何计算,这就是我们使用形式 A=LU 的好处。


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