MIT_线性代数笔记_04_A的LU分解

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 4: Factorization into A = LU
课程 4：A的LU分解

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LU分解

我们从另一种角度来看待 Gauss 消元。

首先考虑没有行交换的情形（也就是主元位置的元素不为 0）。

对矩阵 A 进行 Gauss 消元相当于用一系列初等矩阵左乘 A 从而得到上三角矩阵 U.

以 3×3 矩阵为例。

设 A 是一个 3×3 矩阵， E21,E31,E32 是初等矩阵（ Eij 将 (i,j) 位置的元素消为 0 ）， U 是消元后所得到的上三角矩阵，即

E32E31E21A=U.

因此

A=E−121E−131E−132U.

记

E=E32E31E21,L=E−121E−131E−132,

则以上两式即为

EA=U,A=LU.

下面我们通过例子来说明为什么希望得到 A=LU 的形式而不是 EA=U.

不妨取

E21=⎛⎝⎜1−20010001⎞⎠⎟,E31=I,E32=⎛⎝⎜10001−5001⎞⎠⎟,

则

E=E32E31E21=⎛⎝⎜1−21001−5001⎞⎠⎟,

L=E−121E−131E−132=⎛⎝⎜120010001⎞⎠⎟⎛⎝⎜100015001⎞⎠⎟=⎛⎝⎜120015001⎞⎠⎟.

注意到矩阵 E 的 (3,1) 位置出现了 10 ，为什么会产生 10 呢，这是因为我们首先将 A 的第一行的 −2 倍加到第二行，又将第二行的 −5 倍加到了第三行，这就相当于将第一行的 −2×−5=10 倍加到了第三行，因此这就导致了 E 的 (3,1) 位置出现了 10 ，然而我们并不希望 10 出现，因为它不利于我们快速确定变换所用的矩阵。

而当我们写成 A=LU 的形式时，显然 L 是对角元全为 1 的下三角矩阵，且 L 下三角部分各位置的元素可通过消元过程快速确定， L 的 (2,1),(3,2) 位置的元素即为消元的所用乘数 −2,−5 的相反数（差了一个负号是求逆的缘故）。

因此，我们只需记录消元所用的乘数，就能快速地确定矩阵 L （注意我们这里所讨论的是没有行交换的情形），不需要进行任何计算，这就是我们使用形式 A=LU 的好处。

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