3D 快速行进算法(Fast Marching Method in 3D case)

Intro

快速行进算法用来高效求解程函方程(Eikonal Equation) $F\Vert \nabla U\Vert =1$， F为速度场函数( Velocity Field Function). 符号距离函数为这个方程的近似解，当$F=1$时，二维情况下$F(x,y)=1$, 三维情况下$F(x,y,z)=1$. 该方程为非线性偏微分方程，一般用数值方法也即有限差分来进行求解，其一阶有限差分近似为
$$(\text{max}({\Delta }_{-x}U,-{\Delta }_{+x}U,0){)}^2+(\text{max}({\Delta }_{-y}U,-{\Delta }_{+y}U,0){)}^2=1/F$$
这个有限差分如何得到可以参考Osher或Sethian的著作。
三维情况下方程左侧再添加一项对$z$的差分。

Derive solution

大多数博客只讨论了二维情况，对三维的考虑都是基于mesh，由于我这次做的项目使用的三维网格(or Voxel），以小立方体为单位。具体的解的推导有点不一样，但大部分类似。
考虑网格点$i,j,k$, 设$U^x=\text{min}(U_{i-1,j,k},U_{i+1,j,k}),U^y=\text{min}(U_{i,j-1,k},U_{i,j+1,k}),U^z=\text{min}(U_{i,j,k-1},U_{i,j,k+1})$。
分以下几种情况考虑

1. $U>U^x,U^y,U^z$, 即 $U>\text{max}(U^x,U^y,U^z)=U^x$(假设U^x为最大值)
   $$\text{solution:}U=\frac{U^x+U^y+U^z\pm \sqrt{3/F^2-[(U^x-U^y{)}^2+(U^y-U^z{)}^2+(U^x-U^z{)}^2]}}{3}$$
   显然负号解得舍弃，因为肯定不满足不等号条件。
   接下来需要导出正号解需要满足的条件，即$U>U^x$.
   求解可得:
   $$(U^x-U^y{)}^2+(U^x-U^z{)}^2<1/F^2$$
   若$\text{max}(U^x,U^y,U^z)=U^y$，该关系为
   $$(U^y-U^x{)}^2+(U^y-U^z{)}^2<1/F^2$$
   若$\text{max}(U^x,U^y,U^z)=U^z$，该关系为
   $$(U^z-U^x{)}^2+(U^z-U^y{)}^2<1/F^2$$
   可以判断该这些关系满足判别式大于零因为(假设此时最大值为$U^x$)：
   $$(U^y-U^z{)}^2<(U^x-U^y{)}^2<(U^x-U^y{)}^2+(U^x-U^z{)}^2<1/F^2$$
2. $U$ 小于$U^x,U^y,U^z$中的一个，大于另外两个，假设最大值为$U^x$。这种情况下原方程退化成二维情况。须对$|U^y-U^z|$的值进行讨论。
   1. $|U^y-U^z|<1/F$
      $$\text{solution:}U=\frac{U^y+U^z+\sqrt{2/F^2-(U^y-U^z{)}^2}}{2}$$
   2. $|U^y-U^z|⩾1/F$
      $$\text{solution:}U=\text{min}(U^y,U^z)+1/F$$
3. $U$ 小于其中两个大于其中一个。这种情况就和2.2一样了，读者可以自行验证为什么一样。

所以现在可以重新整理条件：
假设 $U^x,U^y,U^z$按降序排列
if $(U^x-U^y{)}^2+(U^x-U^z{)}^2<1/F^2$,
$$U=\frac{U^x+U^y+U^z\pm \sqrt{3/F^2-[(U^x-U^y{)}^2+(U^y-U^z{)}^2+(U^x-U^z{)}^2]}}{3}$$
else if $(U^x-U^y{)}^2+(U^x-U^z{)}^2⩾1/F^2$ and $|U^y-U^z|<1/F$
$$U=\frac{U^y+U^z+\sqrt{2/F^2-(U^y-U^z{)}^2}}{2}$$
else
$$U=\text{min}(U^x,U^y,U^z)+1/F$$

目前自己也还没弄清楚为什么第一种情况和第二种情况的解不连续，可能哪个计算过程中除出了错误吧。

Acknowledgement

最后不得不膜拜一波Stanley Osher大佬。
如果有误欢迎读者更改。