平方根法和改进的平方根法解线性方程组（Matlab程序）

%定理2.2.3：对阵正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解
%设A为n阶对阵正定矩阵，则存在一个可逆的下三角矩阵G，使得
%A=GG’，当限定G的对角元为正时，这种分解是唯一的

%--------A=GG’的分解算法-------
%参考教材：《数值分析》李乃成，梅立泉，科学出版社
clear;clc;
A=[9,18,9,-27;
  18,45,0,-45;
  9,0,126,9;
  -27,-45,9,135];
b=[1 2 16 8]';
n=length(b);%方程个数n
G=zeros(n,n);
G(1,1)=sqrt(A(1,1));
G(2:n,1)=A(2:n,1)/G(1,1);
for j=2:n-1
    G(j,j)=sqrt(A(j,j)-sum(G(j,1:j-1).^2));
    for i=j+1:n
        G(i,j)=(A(i,j)-sum(G(i,1:j-1).*G(j,1:j-1)))/G(j,j);
    end
end
G(n,n)=sqrt(A(n,n)-sum((G(n,1:n-1)).^2));
G
%--------用A=GG’分解求解方程组Ax=b（平方根法）----
%Gy=b，G'x=y;
x=zeros(n,1);%未知向量
y=zeros(n,1);%中间向量
y(1)=b(1)/G(1,1);
for i=2:n
    y(i)=(b(i)-sum(G(i,1:i-1)'.*y(1:i-1)))/G(i,i);
end
y
%---------由G'x=y求出x----------
%方法类似于U由x=y解出x
G=G';
x(n)=y(n)/G(n,n);
for i=n-1:-1:1
    x(i)=(y(i)-sum(G(i,i+1:n)'.*x(i+1)))/G(i,i);
end
x