TSP问题(状压DP求解)

  TSP问题即最短旅行商问题,在给定的带权无向图中求得一条最短的哈密顿路.这个问题我们在离散数学课上有讲过,是NPhard但是数据范围较小的时候我们还是可以通过一些算法求得近似解.白书上介绍了一种很经典的状压dp求解方法. 

dp[s][v],s表示一个点的集合,这个集合可以是DAG中所有点的子集,这里我们用s来代表所有已经到过的点,用dp[s][v](v∈s)代表从v点出发经过除s以外的所有点后回到点1的最小代价.那么可以推出转移方程dp[s][v] = min ( dp[s][v] , dp[s ∪ u][u] + Map[v][u]) 这个转移方程的意思是枚举所有点找到一个点u使得:v到u的距离 加上 从u出发经过除s以外所有点回到1的距离 的最小值,就是dp[s][v]的状态,这个方程的正确性显然不会证 orz,但是看起来就感觉是对的.注意dp[s][v] , v∈s ,从意义上讲从v出发代表已经到过了v,所以v应该是属于s的.

状态和方程都有了,接下来就是枚举的问题了,我们把s转化成一个二进制来表示点集,1表示已经走过,0代表尚未走过,每一位对应一个点.由于集合不像其他dp有明显的先后关系,枚举就不太方便了,递推方式不太好确定,于是可以用记忆化搜索的方式来求解,(传说中的dp+dfs = dps) .白书中提到由于若S(i)包含于 S(j) , i<=j ,所以我们还是可以用枚举的方式来递推.

poj3311的代码,由于题目中边是可以多次走的,我们先跑一遍floyd预处理一下,然后就是裸的TSP了.

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