AGC011 E Increasing Numbers

题意

定义一个数是上升的，当其每个数位上的数不小于比它数位高的数
比如11233
然后给你一个数N（$N<=10^{500000}$）
求它最少能拆成几个上升的数的和

题解

首先有几个性质需要发现
第一个是对于一个上升的数，它一定可以写成不超过9个1111111…结构的数的和
也即是说，他一定能写成恰好9个结构为$\frac{10^p-1}{9}$的和
假如说答案为k，那么$$N=\sum _{i=1}^{9k}\frac{10^{p_i}-1}{9}$$
移项，可有
$$9N+9k=\sum _{i=1}^{9k}10^{p_i}$$
可以证明的是，然而我觉得我讲不清楚
$9N+9k的数位和<=9k$是上述等式成立的充要条件
所以我们判断这个即可
又由于，比如我们可以一直减去?9999999的结构的东西一次操作就一定可以削去一位，所以答案应该不会大于L
所以我们从小到大枚举k即可
时间复杂度$O(L)$

#include
#include
#include
using namespace std;
const int L=500005,M=500005;
typedef long long ll;
const int base=10;
struct BigInt{
    int a[M];
    int len;
    BigInt(){}
    BigInt(char *s){
        memset(a,0,sizeof a);
        len=strlen(s+1);
        for(int i=len;i>=1;i--)
            a[i]=s[len-i+1]-'0';
    }
};
int ans;
void operator +=(BigInt& x,int y){
    x.a[1]+=y;
    ans+=y;
    for(int i=1;i<=x.len;i++){
        if(x.a[i]>=base){
            if(i==x.len)
                x.len++;
            ans-=x.a[i];
            ans-=x.a[i+1];
            x.a[i+1]++;
            x.a[i]-=base;
            ans+=x.a[i];
            ans+=x.a[i+1];
        }
        else
            break;
    }
}
BigInt operator *(BigInt x,int y){
    int r=0;
    for(int i=1;i<=x.len;i++){
        x.a[i]*=y;
        x.a[i]+=r;
        if(x.a[i]>=base){
            r=x.a[i]/base;
            x.a[i]%=base;
        }
        else
            r=0;
    }
    x.len++;
    x.a[x.len]+=r;
    while(x.len>0&&x.a[x.len]==0)
        x.len--;
    return x;
}
int sum(BigInt x){
    int res=0;
    for(int i=1;i<=x.len;i++){
        res+=x.a[i];
    }
    return res;
}
char s[L];
int main()
{
    //freopen("z.in","r",stdin);
    scanf("%s",s+1);
    BigInt x(s);
    x=x*9;
    ans=sum(x);
    for(int k=1;;k++){
        x+=9;
        //if(k%10000==0)
        //    puts("!");
        if(ans<=9*k){
            printf("%d\n",k);
            return 0;
        }
    }
}