SPOJ GSS4 洛谷P4514上帝造题的七分钟&&[树状数组进阶]

树状数组大法好

讲这道题之前先讲点进阶内容

一维树状数组的区间修改+区间求和

不会树状数组入门知识的->出门左转
不会树状数组单点修改的->出门右转
好了，现在留下的都是奆佬
我们先讲一下区间修改
根据之前单点修改，区间求和的思想，发现差分数组非常有用，那么我们不难发现一个有趣的性质，对于差分数组d[i]，原数组a[i]，存在$a[i]=\sum _{k=1}^{i}d[i]$，自己手动模拟一下 ，$d[1]=a[1]$，$d[2]=a[2]-a[1]=d[1]+d[2]=a[2]-a[1]+a[1]$，后面类似，所以我们求前缀和就可以$s[i]=\sum _{k=1}^{i}a[i]=\sum _{k=1}^i\sum _{j=1}^{k}d[j]$
复杂度爆表，然后我们不难发现，$d[1]$被累加了i次，$d[2]$被累加了i-1次，于是我们就可以把上面$n^2$的式子写成$s[i]=\sum _{k=1}^i\sum _{j=1}^{k}d[j]=\sum _{k=1}^{i}d[k]\ast (i-k+1)=(i+1)\ast \sum _{k=1}^{i}d[k]-\sum _{k=1}^{i}d[k]\ast k$，于是我们就可以用树状数组维护两个数组，一个是$d[i]$，另一个是$d[i]\ast i$，然后查询的时候就套上面的式子就好了，是不是比线段树简单多了

二维树状数组

类比一维树状数组，一维树状数组数组上，前缀和是每次减个lowbit的位置加起来，那么我们放在二维上，我们可以想象为先横着求和，再竖着求和，所以是

for (int i=x;i;i-=lowbit(i)
for (int k=y;k;k-=lowbit(k)

这样就可以得到前缀和了，但是我要求你有修改操作
类比一下一维树状数组的差分性质，我们对它做一个二维差分，想一下二维前缀和，i,k的二维前缀和和等于$s[i][k]=s[i-1][k]+s[i][k-1]-s[i-1][k-1]+a[i][k]$，于是我们就类比了一下，我们使得差分数组$d[i][k]=a[i][k]-a[i-1][k]-a[i][k-1]+a[i-1][k-1]$，然后$d[i][k]$也存在类似于一维的性质$d[i][k]=\sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]$，手模一下就发现了，或者根据差分的过程也能得到，所以前缀和就是$s[i][k]=\sum _{j=1}^i\sum _{l=1}^k\sum _{x=1}^j\sum _{y=1}^{l}d[x][y]$，复杂度炸了一地啊！然后开始优化，发现$d[1][1]$用了$i\ast k$次，$d[2][2]$用了$i\ast (k-1)$次，所以得到对于差分数组里的$d[x][y]$用了$(i-x+1)\ast (k-y+1)$次，化简上面式子$s[i][k]=\sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast (i-x+1)\ast (k-y+1)$，还是没办法直接维护，继续化简一下？
$=\sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast (i-x+1)\ast (k-y+1)$
$=\sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast (i+1)\ast (k+1-y)-\sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast x\ast (k+1-y)$
$=\sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast (i+1)\ast (k+1)-\sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast (i+1)\ast y-\sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast x\ast (k+1)+\sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast x\ast y$
整理一下得到
$(i+1)\ast (k+1)\ast \sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]-(i+1)\ast \sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast y-(k+1)\ast \sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast x+\sum _{x=1}^i\sum _{y=1}^{k}d[x][y]\ast x\ast y$
这就好维护了，我们维护四个二维树状数组，$d[i][k]$，$d[i][k]\ast i$，$d[i]][k]\ast k$，$d[i][k]\ast i\ast k$，然后就没有然后了。
注意
二维差分的时候若对矩形{x1,y1}{x2,y2}进行加值，那么在差分数组上的表现为$d[x1][y1]+=val$，$d[x2+1][y2+1]+=val$，$d[x2+1][y1]-=val$，$d[x1][y2+1]-=val$，为啥？自己手模滑稽

所以这道题就是裸题

代码

//By AcerMo
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
const int M=2500;
int n,m;
int s1[M][M],s2[M][M],s3[M][M],s4[M][M];
inline void read(int &x)
{
	x=0;int f=1;char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch=='-'?f=0:f=1,ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	if (!f) x*=-1;
}
inline void write(int x)
{
	if (x<0) putchar('-'),x=-x;
	if (x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	return ;
}
inline void add(int x,int y,int z)
{
	for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	for (int k=y;k<=m;k+=lowbit(k))
	s1[i][k]+=z,s4[i][k]+=z*x*y,
	s3[i][k]+=z*y,s2[i][k]+=z*x;
	return ;
}
inline int sum(int x,int y)
{
	int a1=0,a2=0,a3=0,a4=0;
	for (int i=x;i;i-=lowbit(i))
	for (int k=y;k;k-=lowbit(k))
	a1+=s1[i][k],a2+=s2[i][k],a3+=s3[i][k],a4+=s4[i][k];
	a1*=(x+1)*(y+1);a2*=(y+1);a3*=(x+1);
	a1-=a2;a1-=a3;a1+=a4;
	return a1;
}
signed main()
{
	char c=getchar();
	read(n);read(m);
	int a,b,x,y,z;
	while (cin>>c)
	{
		read(a);read(b);read(x);read(y);
		if (c=='L') 
		{
			read(z);
			add(a,b,z);add(x+1,y+1,z);
			add(a,y+1,-z);add(x+1,b,-z);
		}
		else
		{
			int a1=sum(x,y),a2=sum(a-1,b-1);
			int a3=sum(x,b-1),a4=sum(a-1,y);
			write(a1+a2-a3-a4);puts("");
		}
	}
	return 0;
}