理解伯德图-4/4复杂系统

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之前，我们分析了一些简单的一阶系统，比如纯积分环节、单极点/零点系统。当你需要分析各种典型动态系统时，通常都需要分析更高阶的多项式。这里有个小技巧，就是你所需要分析的各阶多项式，都可以因式分解为有实根的一阶系统和有一对复根的二阶系统的乘积。

典型二阶系统

单质量弹簧阻尼系统是典型的二阶系统，同样RLC电路也是。

这两种系统，根据于阻尼质量比(c/m)或者说电阻电感比(R/L)，我们都会得到一对共轭复根。

一般来说，任意一个有着一对共轭复根为极点的二阶系统的传递函数都可以写成这种标准形式。其中wn叫做自然频率，zeta又叫做阻尼比。

来看这个典型的机械系统，自然频率对应着sqrt(k/m)。这个基本电路回路，自然频率为sqrt(l/LC)。

如果我们用标准公式来计算它的两个共轭复根，大家都知道，-b+-sqrt(一堆公式)。最后，这个共轭根对的表达式如下：

当zeta的绝对值小于等于1时，它的共轭根对如图的公式。

当zeta的绝对值大于1时，它的两个根都为实根，这表示它可以表示为两个一阶极点系统的乘积。

在我们计算它的频响前，我们先把传递函数里的s替换为jw。

为了进行近似分析，我们分别来看频率大于wn和小于wn的曲线趋势。

当w <

当w=wn时，平方项为-1，与后面的1抵消。中间变为一个纯虚数常数，最后它的幅值为1/(2*zeta)，相位为-90度。因为j是纯虚数向量，位于分母，角度为-90度。

最后，当w>>wn时，主要影响因子是这个二次项。当使用Log坐标，它的次方项2变为乘法，近似为一条直线，斜率为-40dB/dec。相位为-180度，因为这时候向量G在负实轴。

可以看到它实际的曲线，峰值在wn偏左一点点。

这是因为，如果你看它的极点的虚部，wn*sqrt(1-zeta^2)，这个部分，我们称为Damped Nature Frequency。只有当zeta等于0时，阻尼自然频率才会等于自然频率。注意，这时候，共振峰值会趋向于无穷大。

zeta取不同的值，曲线会有不同的变化。

比如当zeta越大，共振频率时刻的峰值就越低，相位的变化也就越平缓。

这里我想特意说一下，当zeta = 0.707时，也就是sqrt(2)/2，通常也叫做临界阻尼critical damping。当处于临界阻尼时，系统在自然频率点上的幅值增益为-3dB。

当zeta = 1时，系统极点的虚部为0，这个二阶系统转化为两个重复实根为wn的一阶系统的乘积。

MATLAB工具

现在让我们回到这个交互式设计工具，我想给大家介绍一些典型的概念。

首先添加一对共轭实根，在10rad/s附近(点击鼠标添加)，接着你可以精确设置这个值为10(如下图)。

我们知道，这时默认的阻尼系数为1，意味着它有一对实根。

当把阻尼系数修改为任意小于1的值，可以看到变成了一对共轭复根。

看到这种情况，它的自然频率wn=1/2*zeta，G的幅值20*log(1/2*zeta)为0，Crossover Frequency等于自然频率。

如果我这里把阻尼比降低，可以看到，峰值变大，曲线变陡。

这里我输入了0.05，|G|dB = 20*log(1/2*zeta)=1。

如果我这里改变它的自然频率值，可以看到，其实也就是平移了峰值的位置。

如果想改变系统的增益，由于log计算的关系，这时我主要修改这里的这个增益值。

比如说改成10，那20*log(10)就是20，所以可以看到增益曲线往上平移了20。

看到，相位并没有受影响。

现在我在大约10rad/s的地方添加一个零点。这里是(手动设置零点的值，如图)，为了确保准确的添加在10rad/s的地方。

可以看到幅值曲线变缓了，斜率往上偏移20dB。相位，也从原来的-180度逐渐攀升到最后的-90度。

类似的，如果我再添加一个极点，大约100rad/s的地方。确保准确添加在100rad/s的地方(手动修改极点值)。

可以看到，原本是-40dB的斜率，由于零点的影响，变为-20dB,接着由于极点的影响，又重新变为-40dB。

所以，利用这种零极点位置的概念，你可以构建任意需要研究的传递函数。

你所需要做的就是，把它进行因式分解，分别研究各个子部分。

最后可以图形化的把它们集成起来。

完全理解这些简单概念非常重要，因为它可以让我们通过理解Bode图的幅值和相位曲线，来更好的理解各个基本系统。