线段树学习笔记

请注意，不建议读者对于每道题均编代码，码量极大

T1

Description

给定一个序列，支持区间加与区间乘与区间查询和的操作。

Solution

一道线段树板子题。

我们同样维护线段树的区间信息与懒标记，只不过此时懒标记记录的有两个值，即$k$与$b$，表示该节点已经乘$k$加$b$了，而其子节点尚未做过此种操作。

于是，我们可以在$O(qlo{g}_{2}n)$的时间复杂度内解决本题。

T2

Description

给定一个序列，支持区间修改与每次查询在$1-i$中最后一个不小于$x$的位置。

Solution

比较裸的线段树。

每个线段树的节点维护的均为该区间的内的最大值。区间修改的方式不变，对于题目中的这种查询，我们直接从$1$号节点向下进行搜索。如果该节点所代表的区间被完全包含在查询区间内，那么我们便判断，该区间的最大值是否大于等于$k$；如果不是，就直接返回，否则看下它的两个子区间，如果它的右子区间的最大值不小于$k$，就贪心地向右搜去寻找更大的$i$，否则向左。

于是，本题就可以在$O(qlo{g}_{2}n)$。

T3

Description

给定一个序列，支持区间查询最大子段和。

Solution

考虑对于一个线段树节点，我们维护什么。

维护三个内容：

①$lmin$: 从最左边开始连续的一段区间的最大和；

②$lmax$: 从最右边开始连续的一段区间的最大和；

③$smax$: 维护这个区间的最大子段和;

④$sumv$: 维护这个区间各数之和。

显然，①②都符合区间加法，③可以通过其子区间的①②得到。

tree[rt].lmin=max(tree[2*rt].lmin,tree[2*rt].sumv+tree[2*rt+1].lmin)
tree[rt].lmax=max(tree[2*rt].lmin,tree[2*rt].sumv+tree[2*rt+1].lmax)
tree[rt].sumv=tree[2*rt].sumv+tree[2*rt+1].sumv
tree[rt].smax=max(tree[2*rt].smax,tree[2*rt+1].smax,tree[2*rt].rmax+tree[2*rt+1].lmax)

于是，我们便可以在$O(qlo{g}_{2}n)$的时间复杂度内解决本题，如果忽略巨大的常数的话

T4

Description

给定一个序列，支持区间取反(每个数都乘$-1$)和查询最大子段和。

Solution

做法与$T3$基本相同，但是还要多维护几个东西。

①$lmin$: 从最左边开始连续的一段区间的最小和；

②$rmin$: 从最右边开始连续的一段区间的最小和；

③$smin$: 维护这个区间的最小子段和;

这三个东西样符合区间加法，上传公式与$T3$基本相同。

若区间乘$-1$，我们就将该区间的最小子段和与最大子段和乘上$-1$后交换即可。

于是时间复杂度仍为$O(qlo{g}_{2}n)$，如果不考虑巨大无比的常数的话

T5

Description

给定一个序列，支持单点修改与区间查询不能组成的最小的数。

若对于一个区间$x$能组成是指，能够在该区间中选一些数，它们的和正好等于$x$。不能组成则相反。

$n\le 10^5,a_i\le 10^7$，时限$3000ms$。

Solution

首先，假设我们目前$1-x$这些数都能得到，现在又加入进来一个数$k$。

若$k\le x+1$，则现在$1-{\sum }_{a_i\le x+1}{a}_i$这些数就都能得到啦；否则，直接输出$x+1$。因为，当$k＞x+1$时，由于在看到$k$之前$x+1$无法得到，现在$k$又没有组成有力的贡献，所以$x+1$总归无法得到。

于是，我们对于区间中，第$i$个数二进制的位数为$w_i$。我们每次整个扫一遍各个$i$的值($i\le lo{g}_{2}m$，其中$m$为序列中的最大值)，架设对于二进制位数为$i$的数的最小值为$k$，若$k$已经大于了$x+1$，那么就直接宣布结束并输出$x+1$；否则$x$加上二进制位数为$k$的数之和，$i$的值也同时加$1$。所以，我们只需要开$lo{g}_{2}m$个线段树，维护区间最小值与区间和，那么对于询问中的查询某种二进制位数的最小值与和，我们就可以$O(lo{g}_{2}n)$地快速查询啦。

单点修改并没有产生多大的影响，假设把$a$变成了$a+t$，那么二进制位数同$a$的集合中相当于单点减去了$a$，二进制位数同$a+t$的集合中相当于单点加上了$a+t$，也可以用线段树轻松维护。

所以，时间复杂度为$O(nlo{g}_{2}nlo{g}_{2}m)$，卡常后即可通过本题。

好神仙的题

T6

Description

给定一个序列，要求支持下面三种奇怪的操作:

①区间内所有的数$a_i$均变成$\varphi (a_i)$，即不大于$a_i$且与$a_i$互质的数的数量。

②区间所有的数均变为$x$；

③区间查询和。

$n\le 10^6,a_i\le 10^7$

保证数据随机。

Solution

观察一下几个操作，可以发现:

①貌似不太好搞，②③就是线段树轻松搞定的区间摊与区间查询(别跟我扯珂朵莉树)。

①既然不好搞，我们便随便用个数据上来试试看——比如这个数是$21$，那么

$21\to 12(\varphi (21)=12)\to 4\to 2\to 1\to 1\dots \dots \to 1$

可以发现，任何一个数，经过多次做$\varphi$的操作，终究会让一个数变成$1$。

那么，对于一个数，最多做多少次$\varphi$的操作会让它变成$1$呢？如果这个数是一个奇数，那么最劣情况会将它仅仅减去$1$；否则，这个数会除以$2$。为什么呢？因为若这个数是偶数，那么$2,4,6\dots \dots$均不与它互质，所以这个数就会被除以$2$。所以，最劣的情况就是，这个数是一个奇数，它轮流地被减一除$2$，可以发现变成$1$的最少操作次数是$lo{g}_{2}n$级别的。

于是，我们就可以直接用线段树来维护每个区间被修改的次数，如果达到了一定的次数就不管这个区间了，否则暴力修改；另外②③的做法是裸的线段树，这里不再解释。

只需要用线性筛预处理出每个值的$\varphi$即可。时间复杂度$O()

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但是，会存在一种特殊的情况——

所有数都是很坑的数，需要做$20$次①操作才能归$0$；每做$20$次①操作后，就来一次区间摊，把所有数给搞回去，然后再让你做①操作，还有随时的③询问……

显然，在特殊构造的上述数据中，时间复杂度$T$飞成$O(nq)$。

但是，需要注意，数据纯随机，出现这种情况的概率不到亿亿亿亿分之一，并不需要担心。

故总时间复杂度为$O(qlo{g}_{2}n)$。