100道动态规划——41 CodeForces #419 815C Karen and Supermarket 树型DP

真的,,,好久都没有写过动态规划了呀....

题意说的是对于n件物品，每一件物品都存在一个价格c和一张优惠券能够减免d元。对于第i件物品(i ≥ 2)使用优惠券时有额外的要求，那就是第xi张优惠券必须被使用，满足1<=xi

一个比较显然的事情就是这些物品使用优惠券时构成了一棵依赖树，以1号物品为root节点，这是由1<= xi

接下来这个问题需要被转化一下，不能直接求出给出d元金钱下的最多物品数，转化为求对于确定的物品数量k，所消耗的最少的金钱数。最后求答案的时候求一个最大的k就好

首先明确一点，对于每个物品都存在两个状态，使用或者不使用优惠券。

定义状态f[u][i]表示以u为根且u使用优惠券的子树购买i件物品时使用最小花费

定义状态g[u][i]表示以u为根且u及其所有下属节点均不使用优惠券时购买i件物品的最小花费

我自己是第一次写这样的树型DP....要维护一个当前树的size（一下简写为sz），意思就是一开始当前树仅仅只有自己一个根节点，然后不断把子树合并上来来扩充sz

首先，对于任何一个节点，按照定义，初始状态都有:

f[u][1]=c[i]-d[i],g[u][1]=c[i]

f[u][0]=g[u][0]=0

sz[u]=1

每一次考虑u的一个子节点v，用一个二重循环枚举在当前u上拿i件物品，在其新子树（此处的新仅仅指没有还没有加入到u中）v上拿j件物品，来更新f[u][i+j]，g[u][i+j]，然后把v合并到u中。

状态转移方程写出来就是

f[u][i+j]=min(f[u][i+j],f[u][i]+min(f[v][j],g[v][j]))

g[u][i+j]=min(g[u][i+j],g[u][i]+g[v][j])

注意的一点就是在计算f[u][i+j]的时候，若i==0，不满足我们的定义，因此此时的代价应该是0x3f3f3f3f

此外一个小trick就是在每次做完当前树u之后，对于所有的1<= i <= sz[u]，令f[u][i]=min(f[u][i],g[u][i])

即可在后续计算中把状态转移方程f[u][i+j]=min(f[u][i+j],f[u][i]+f[v][j])

结尾的附录写出了关于时间复杂度的分析

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int maxm=5010;

struct Edge{
    int nt,v;
    explicit Edge(int a=0,int b=0):nt(a),v(b){};
}edge[maxm];

int n,b,c[maxm],d[maxm],sz[maxm],fi[maxm],rec,f[maxm][maxm],g[maxm][maxm];
inline void addeage(int x,int y);
void dfs(int now);

int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin>>n>>b>>c[1]>>d[1];
    for(int i=2,tmp;i<=n;++i)
        cin>>c[i]>>d[i]>>tmp,addeage(tmp,i);
    dfs(1);
    for(int i=n;i>=0;--i)
    if(f[1][i]<=b)
        cout<=0;--i)
        for(int j=sz[v];j;--j)
            g[now][i+j]=min(g[now][i+j],g[now][i]+g[v][j]),
            f[now][i+j]=min(f[now][i+j],i?f[now][i]+f[v][j]:0x3f3f3f3f);
        sz[now]+=sz[v];
    }
    for(int i=1;i<=sz[now];++i)
        f[now][i]=min(f[now][i],g[now][i]);
}

appendix:有关于时间复杂度的分析：

时间复杂度实际上是O(n²)的

咋一看对于一个节点应该是n²的计算量，由于对n个节点都计算一次，最后应该是n³的复杂度。

让我们来详细分析一下

对于一个节点的计算的分析：(为了方便起见，以下的sz[1],sz[2].....sz[k]表示当前被计算节点的第XX个子树) 

计算量是：sz[1]*1 + sz[2]*(sz[1]+1) + sz[3]*(sz[2]+sz[1]+1)....... --> ∑s[i]*s[j]  +∑s[i]   (1<= j < i )  -->( (1 + ∑sz[i])² - ∑sz[i]²  - 1)/2  (注意平方的位置)

没错，对于一个节点来说计算量分析出来确实是n²的

把式子改写一下，忽略常数项有

(sz[当前树])² -  ∑sz[某颗子树]² 

当我们把所有节点的计算加到一起的时候，发现里面项是可以相互抵消的，因此总时间复杂度还是n²

Q.E.D