集合论与图论-图论

六、图的基本概念

6.1 图论的产生与发展史概述

图论产生过程有两个重要问题：

1. 哥尼斯堡城七桥问题（对应欧拉路，一笔画问题）
2. 四色定理（对应图染色问题，任一地图可被染四色）

6.2 基本定义

设V是一个非空集合,V的一切二元子集之集记作$P_2(V)$,换言之:

$$P_2(V)=\{A|A\subseteq V且|A|=2\}$$

定义6.2.1 无向图

设V是一个非空有限集合,$E\subseteq P_2(V)$,二元组$(V,E)$称为一个无向图.B中元素为无向图的顶点,V为顶点集,E称为边集,E的元素称为图的边.如果$\{u,v\}\in E,u,v\in V$,则称u与v邻接.
以V为顶点集,E为边集的无向图$(V,E)$常用一个字母G来代替,即G=(V,E).如果$|V|=p,|E|=q$则称G为一个$(p,q)$图.即G是一个具有p个顶点,q个边的图.(1,0)图称为平凡图.
以后常用u,v,w为顶点命名,x,y,z为边命名.如果x={u,v},则称x为这条边的名字,u和v称为边x的断电,这是还说顶点u,v与边x相互关联,还说x是连接节点u和v的边,且记为x=uv或x=vu.若x,y是两条边,并且只有一个公共端点,则$|x\cap y|=1$,则称边x与y邻接.

注意:

1. G是一个V上的反自反且对称的二元关系E的系统.
2. 图的图解:每个点旁边写上名,然后边连线.这时得到的线的交点不是图的顶点.不过图解一般也称为图.
3. 我们从现在开始研究的都是无向图。

几种特殊的图:

1. 带环图.联结一个顶点和它自身的边称为环,有环的图叫带环图.
2. 多重图.无向图定义中,两个点最多一条边联结,如果多于一条边,则称该图为多重图.这些边称为多重边.
3. 伪图.允许有环和多重边存在的图称为伪图.
4. 完全图.G为无向图,若G中任何两个顶点间都有一个边,则称G为完全图,n个顶点的完全图记作$K_n$.

定义6.2.2 零图

设G=(V,E)为无向图,如果$E=\varnothing$,则称G为零图.零图是一个没有边的图,但它确实是一个无向图.

定义6.2.3 有向图

设V是一个非空有限集,$A\subseteq (V\times V)\setminus \{(u,u)|u\in V\}$.二元组D=(V,A)成为一个有向图.V中的元素称为D的顶点,A中元素(u,v)称为D的从u到v的弧或有向边.
对称弧:如x=(u,v)且y=(v,u)均为A的弧,则称x与y为一对对称弧.

定义6.2.4 定向图

不含对称弧的有向图称为定向图.
对应无向图的一些定义:

1. 环.一个从自己到自己的边称为环.
2. 多重弧.两个顶点u,v之间有很多个从u到v的有向弧,则称他们为多重弧.
3. 带环有向图.允许有环存在的有向图称为带环有向图.
4. 多重有向图.允许有多重弧存在的有向图,称为多重有向图.
5. 伪有向图.允许环和多重弧存在的有向图称为伪有向图.

定义6.2.5 子图

点集是原点集非空子集,边集是原边集子集的图.
设G=(V,E)是一个图,图$H=(V_1,E_1)$称为G的一个子图,其中$V_1\subseteq V,E_1\subseteq E$且$V_1$非空.

定义6.2.6 生成子图

点集是原点集,边集是原边集子集的图.
设G=(V,E)是一个图,图$H=(V,F),F\subseteq E$是图G的生成子图.

真子图,极大子图

设$G_1,G_2$是G的两个子图.如果$G_1\ne G$则称$G_1$是G的真子图.如果$G_1$是$G_2$的子图,则说$G_2$包含$G_1$.
设G的子图H具有某种性质,若G中不存在 1.与H不同的 2.具有此性质 3.且包含H的 4.真子图 ,则称H是具有此性质的极大子图.

定义6.2.7 导出子图

设S是G的顶点集V的非空子集,则称G的以S为日顶点集的极大子图称为由S导出的子图,记作$⟨S⟩=(S,P_2(S)\cap E)$.
于是,S的两个顶点在$⟨S⟩$中邻接,当且仅当其在G中邻接.

从图解上看,由$V\setminus v$导出的子图是删除v和与v邻接的所有边,记作G-v.类似的我们可以定义G-x(生成子图,不删除点).如果u,v是G中不邻接两个顶点,图$(V,E\cup \{u,v\}$简记成G+uv.

定义6.2.8 图的同构

设G=(V,E),H=(U,F)是两个无向图.如果存在一个一一对应$f:V\to U$使得$uv\in E\iff f(u)f(v)\in F$,则称G与H同构,记作$G\cong H$.

乌拉姆猜想

设G=(V,E),H=(U,F)是两个图,$V=\{v_1,v_2,\dots ,v_p\},U=\{u_1,u_2,\dots ,u_p\}$其中p>2.如果对于每个i都有$G-v_i\cong H-u_i$,则$G\cong H$.

定义6.2.9 顶点的度

设v是G的一个顶点,G中与v关联的边的数目称为顶点v的度.记作$\mathrm{deg}v$.

定理6.2.1 欧拉定理,顶点度

G是一个(p,q)图,则G中各顶点度的和等于2q.$\sum \mathrm{deg}v=2q$.

推论6.2.1 奇度点偶数个

任一图中,度为奇数的顶点的数目必定为偶数.

最大度,最小度

引入记号表示图中最大,最小度:
$$\begin{gathered} \delta (G)=\underset{v\in V}{\min }\{\mathrm{deg}v\} \\ \Delta (G)=\underset{v\in V}{\max }\{\mathrm{deg}v\} \end{gathered}$$

定义6.2.10 r度正则图

图G称为r度正则图,如果$\delta (G)=\Delta (G)=r$,即G的每个顶点的度都等于r.3度正则图也叫三次图.一个具有p个顶点的p-1度正则图称为p个顶点的完全图,记作$K_p$.

推论6.2.2 三次图

每个三次图都有偶数个顶点.

孤立顶点

度为0的点称为孤立顶点.0度正则图就是零图.

6.3 路、圈、连通图

图的最基本的性质是它是否联通，直观上就是它能不能（裂开）分成不相连接的几部分。

定义6.3.1 通道

设G是一个图，G的一条通道是G的顶点和边的一个交错序列。
$$v_0,x_1,v_1,x_2,\dots ,v_{n-1},x_n,v_n;x_i=v_{i-1}{v}_i$$
n称为通道的长。这样一个通道常称为$v_0-v_n$通道，简记作$v_0{v}_1\dots v_n$。当$v_0=v_n$时，称为闭通道。

注意：通道上点和边都可以重复出现，计算通道长的时候，重复的边按重复的次数算。

定义6.3.2 迹、闭迹

1. 如果图中一条通道上各边互不相同，则称此通道为图的迹。
2. 如果一条闭通道上各边互不相同，则称此通道为伍德闭迹。

定义6.3.3 路、闭路（圈）

1. 如果一个通道上各顶点互不相同，则称该通道为路。
2. 如果一条闭通道上各顶点互不相同，则称为圈或回路。

定义6.3.4 连通图

设G时图，若G中任两个不同顶点间至少有一条路联结，则称G是一个连通图。

定义6.3.5 支

一个不连通的图可以被分为互不相连的及部分，每个部分都是连通的，称为一个连通分支，或支。

图G的极大连通子图称为G的一个支。一个图可以有很多支。

定理6.3.1 以连通构建等价关系

设G是一个图，在V上定义二元关系$\cong$如下：
$$\forall u,v\in V,u\cong v,\text{if}u与v之间有一条路$$
则$\cong$是V上的等价关系,G的支就是关于$\cong$的每个等价类的导出子图.

定理6.3.2 判定图连通的充分条件

设G是一个(p,q)图,对G任何两个不相邻顶点u,v始终有
$$\mathrm{deg}u+\mathrm{deg}v\ge p-1$$
则G是连通的.

[证明]假设图不是连通的,那么就至少有两个支,取两个不同支上的点,它们度之和最大时p-2.因此得证.

定理6.3.3 判定圈的充分条件(顶点度)

设G是至少有一个顶点不是孤立顶点的图,如果$\forall v\in V,\mathrm{deg}v=2k$,则G中一定有圈.

[证明]取一个最长路$P=v_1{v}_2{v}_3\dots v_n$,由于$v_1$度大于2,则一定有两个点与它邻接,那么这两个点之中一定有一个对应在原序列中的$v_i,i\ge 3$,这样$v_1{v}_i$就没被使用,然后我们构造$P^{\prime }=v_1{v}_2\dots v_i{v}_1$就是一个圈.

定理6.3.4 判定圈的充分条件(顶点路)

G中两个不同的顶点u,v之间有两个不同的路联结,则G中有圈.

[证明]取一个只在一条路上的边x(u,v),然后删去它,则uv之间存在一条路,然后把x加进去,就构成了圈.

6.4 补图、偶图

类似于正反关系，补图类似于补集的概念。有时转换研究其补图可能会更简单。

定义6.4.1 补图

设G=(V,E)是一个图,则图$G^c=(V,P_2(V)\setminus E)$称为G的补图.如果G与其补图同构,则称G为自补图.

定理6.4.1 6顶点图与三角形

三个顶点的完全图$K_3$称为三角形.

对任一有6个顶点的图G,G中或$G^c$中有一个三角形.

[证明]取一个v,则在G或$G^c$中一定有一个图满足与其邻接的三个顶点$v_1,v_2,v_3$,如果这三个中有两个邻接,那么就与v构成了三角形.如果两两不邻接,则在这个图的补图中这三个就构成了三角形.

拉姆齐问题/拉姆齐数

拉姆齐问题:任何六个人的团队中,存在三个互相认识的人或互相不认识的人.

拉姆齐数:求一个与两个数n,m有关的最小正整数r(m,n),使得任何有r(m,n)个顶点的图一定含有一个$K_m$或$K_n^c$.数r(m,n)称为拉姆齐数.

定义6.4.2 偶图

G=(V,E)为称为偶图,当且仅当其满足以下条件:

1. V中有一个2-划分$\{V_1,V_2\}$,
2. 使得G的任一条边的两个端点一个在$V_1$中,另一个在$V_2$中.

这个偶图有时记为$((V_1,V_2),E)$.如果$\forall u\in V_1,v\in V_2$均有$uv\in E$,则称这偶图为完全偶图,记为$K(m,n)或K_{m,n}$,其中$|V_1|=m,|V_2|=n$.

定义6.4.3 最短路长度

设G是一个图,uv是G的顶点,联结uv的最短路长度称为uv之间的距离,并记为$d(u,v)$.如果u与v间在G中没有路,则定义$d(u,v)=\infty$.

定理6.4.2 偶图充要条件

G为偶图的充分必要条件是它的所有圈都是偶数长.

定理6.4.3 图兰定理(无三角形图条件)

所有具有p个顶点而没有三角形的图中最多有$\lfloor p^2/4\rfloor$条边.指下取整.

[证明]构造完全偶图.

6.5 欧拉图

迹：边不重复的通道

定义6.5.1 欧拉闭迹、欧拉图

包含图的所有顶点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹，存在一条欧拉闭迹的图称为欧拉图。

定理6.5.1 欧拉图判定充要条件

图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每个顶点的度都是偶数。

[证明]根据定理6.3.3不断构造、删除一个圈，最后因为这些圈有公共点，作为连接部分，把这些圈连接起来。

推论6.5.1 欧拉图等价命题

设G是一个连通图，以下命题等价：

1. G是一个欧拉图
2. G所有顶点的度都是偶数
3. G的边集能划分成若干互相边不相交的圈。

定义6.5.2 欧拉迹

包含图的所有顶点和边的迹称为欧拉迹。欧拉迹不一定是欧拉闭迹。

推论6.5.2 欧拉迹判定条件

图G有一条非欧拉闭迹的欧拉迹，当且仅当G是连通的，且奇度顶点的个数刚好为两个。

定理6.5.2 n笔画问题

G是连通图，G有2n个奇度顶点，$n\ge 1$，则G全部边可以排成n条开迹，而且至少有n条开迹。

6.6 哈密顿图

路：点不重复的通道

定义6.6.1 哈密顿图

G是一条生成路称为G的哈密顿路。所谓生成路就是包含所有顶点的路。G的一个包含所有顶点的圈称为G的一个哈密顿圈。具有哈密顿圈的图称为哈密顿图。

定理6.6.1 哈密顿图导出子图

G是哈密顿图，S是V的非空子集，则$\omega (G-S)\le |S|$.即导出子图的支数小于等于删除的点集的大小。

[证明]：$\omega (G-S)\le \omega (H-S),H为哈密顿圈$。

定理6.6.2 迪拉克定理（哈密顿图判定充分条件）

G是一个$p,p\ge 3$顶点的图，如果$\delta (G)\ge \frac{p}{2}$,则G是一个哈密顿图。

定理6.6.3 奥尔定理（迪拉克定理推广）

G是一个$p,p\ge 3$顶点的图，如果对G任何两个不邻接顶点uv都有
$$\mathrm{deg}u+\mathrm{deg}v\ge p$$
则G是一个哈密顿图。

定理6.6.4 哈密顿路判定充分条件

G是一个p顶点图，如果G每一对不邻接顶点u和v均有
$$\mathrm{deg}u+\mathrm{deg}v\ge p-1$$
则此时G有哈密顿路。

6.7 *图的邻接矩阵

这个东西课件上都是打星号内容

[主要内容]

1. $a_{ij}=\{\begin{array}{l}1,v_i{v}_j\in E\\ 0,v_i{v}_j\notin E\end{array}$.
2. G顶点数是A的阶，G边数是A中1的个数的一半，$\mathrm{deg}v={\sum }_i{A}_{v,i}$.
3. 两种编号下的邻接矩阵存在一个置换矩阵P，使得$A_1=P{A}_2{P}^T$.
4. 设G是(p,q)图，A是邻接矩阵，G中$u_i,u_j$之间长度为l的通道的条数等于$A^l$的第i行第j列的值。
5. G是一个p顶点图,则$G连通\iff (A+I{)}^{p-1}\ge 0$
6. A的特征多项式$P(\lambda )=|\lambda I-A|={\lambda }^p+C_1{\lambda }^{p-1}+\cdots +C_p$.中
   1. $C_1=0$
   2. $-C_2$是G的边数
   3. $-C_3$是G中三角形个数的两倍
7. G=(V,E)是p个顶点的k-正则图(所有点的度都是k),A是邻接矩阵.
   1. k是A的一个特征值
   2. 若G是连通的,则k的几何重数为1
   3. A的任何特征值$|\lambda |\le k$
8. 常用的存图方式为邻接表.它分顶点域和链域.

6.8 *带权图与最短路问题

这个东西课件上都是打星号内容

[主要内容]

1. G=(V,E)是一个图,f是V到S的一个映射,称$(V,E,f)$是一个顶点带权图,仍记G为$G=(V,E,f),\forall v\in V,f(v)是v的权$.类似的g是E到S的映射,则$(V,E,g)$是边带权图,其他定义同上.
2. 最短路问题,针对边带权图,g是从E到非负实数集R的映射.H是G的一个子图,$g(H)$记作H中所有边权之和.
3. 求解过程:Dijkstra算法.

七、树及割集

7.1 树及其性质

定义7.1.1 （无向）树、森林

连通且无圈的无向图称为无向树，简称树。一个没有圈的无向图称为无向森林，简称森林。注意，图论中没有空图，因此也没有空树。

森林的每个支都是树，森林是若干树组成的图。

只有一个顶点的树称为平凡树，与图中的平凡图定义相同。

定理7.1.1 关于树的等价命题

G=(V,E)是一个(p,q)图，以下各命题等价。

1. G是树
2. G任一两个顶点之间有唯一的一条路联结
3. G是连通的且p=q+1
4. G中无圈且p=q+1
5. G中无圈且G中任何两个不邻接顶点之间加一条边得到一个有唯一圈的图
6. G是连通的，并且若$p\ge 3$，则G不是$K_p$.又若G的任两个不邻接的顶点之间加一条边,则得到一个恰好有唯一一个圈的图.

推论7.1.1 非平凡树顶点度

任一非平凡树中至少又两个度为1的顶点.

定义7.1.2 极小连通图

若去掉G中任意一边之后得到的都是不连通的图,则连通图G称为是极小连通图.

推论7.1.2 树与极小连通图

图G是树当且仅当G是极小连通图.

定义7.1.3 偏心率、半径

设G=(V,E)是连通图，$v\in V,e(v)={\max }_{u\in V}\{d(v,u)\}$，称为v在G中的偏心率。数$r(G)={\min }_{v\in V}\{e(v)\}$称为G的半径。满足$e(v)=r(G)$的点v称为G的中心点。G的所有中心点组成的集合称为G的中心，记作$C(G)$。

定理7.1.2 树的中心

每颗树的中心或含有一个顶点，或者含有两个邻接的顶点。

[证明]：G删去所有度为1的点得到$G^{\prime }$，新图的所有点的偏心率都减少了1，因此图的中心不变。依次删除直到产生$K_1,K_2$，此时便得到结论。

7.2 生成树

定义7.2.1 生成树

G是一个图，T是G的一个生成图（包含所有顶点），如果T是树，则称T是G的生成树。显然：有生成树必连通。

定理7.2.1 连通与有生成树

G有生成树的充要条件是G连通。证明方法：破圈法

推论7.2.1 连通图点边关系

G是一个(p,q)图，则$q\ge p-1$。

定义7.2.2 生成森林

G是一个图，F是G的生成子图，若F是一个森林，则F称为G的一个生成森林。

显然：每个图必然会有生成森林。

定理7.2.2 完全图生成树

$K_p$有$p^{p-2}$个生成树，$p\ge 2$。此定理证明涉及到树的唯一表示

树的唯一表示

设V是一个有序集合，T是一个树，$s_1$是T中第一个度为1的顶点，与$s_1$邻接的点记作$t_1$。现在从T中去除$s_1$，剩下的图继续做该操作得到$s_2,t_2$，持续该操作直到图上仅剩两个顶点。这是唯一确定了一个$p-2$元组$(t_1,t_2,t_3,\dots ,t_{p-2})$，这就是一个树的唯一表示。

定理7.2.3 两个生成树之间的变换

G=(V,E)是一个生成树,$T_1,T_2$是两个不同的生成树,如果$e_1\in E_1\Rightarrow e_2\in E_2$,满足$(T_1-e_1)+e_2$是G的一个生成树。

[证明]：去掉$e_1$后分成了两个部分,然后找一个$e_2$连接这两部分即可.

定义7.2.3 生成树距离

设$T_1,T_2$是G的生成树,是$T_1$的边,但不是$T_2$的边的条数k称为$T_1与T_2$的距离,记作$d(T_1,T_2)=k$。性质：$d(T_1,T_1)=0,d(T_i,T_j)\ge 0,d(T_1,T_2)=d(T_2,T_1)$.$d(T_1,T_2)\le d(T_1,T_3)+d(T_3,T_2)$.

基本变换

若$d(T_1,T_2)>0$,则$T_1$中有一条边$e_1$不在$T_2$中,同理$T_2$中也有一个$e_2$.于是
$$T_2=(T_1-e_1)+e_2$$
称为从$T_1$到$T_2$的一个基本(树)变换.

定理7.2.4 距离与基本变换

设$T_0,T$是距离为k的G的两个生成树,则经过k次基本树变换就可以满足两生成树之间的转换.

最小生成树问题

这个问题需要研究边带权图,求解权最小的生成树.接下来的问题都是为解决这个最小生成树问题而展开的.

定义7.2.4 弦(基本圈)

设T是连通图G的生成树,G的不是T的边称为T的弦.

如果e是T的一条弦,则$T+e$有唯一的圈,这个圈被称为是基本圈.

定理7.2.5 Kruskal克鲁斯卡尔算法原理

前置:$G=(V,E,\omega ),\omega (x)>0,\forall x\in E$是一个边带权图.T是一个最小生成树,e是T的一条弦.加入e后构成的圈的点集为U.则有$\omega (u)\le \omega (e),\forall u\in U$.

$G=(V,E,\omega ),\omega (x)>0,\forall x\in E$是一个边带权图.$\{(V_1,E_1),\dots ,(V_k,E_k)\}$是G的生成森林,$k\ge 1,F=\cup E_i$.如果e是$E\setminus F$中权值最小的边,且连接两个树.则存在一个包含$F\cup \{e\}$的生成树T,使得T的权不大于包含F的生成树的权.[证明]:反证法.

Kruskal算法

输入$G=(V,E,w)$,输出$T=(U,F)$.

开始;
U 空集;
F 空集;
将E按照w的大小关系排列称为一个序列Q;
对于每个顶点v,将其加到U中;
当|U| > 1时,做:
    开始;
	从Q中选权值最小的边{u,v};
	从Q中删除这条边;
	如果u和v分别在U的两个子集U1,U2中:
		开始;
		用U1并U2代替U1和U2;
		把{u,v}加到F中;
		结束;
	结束;
结束;

定理7.2.6 Prim算法原理

$G=(V,E,\omega ),\omega (x)>0,\forall x\in E$是一个边带权图.U是V的一个真子集.取满足以下性质的一条边$\{u,v\}$

1. $u\in U,v\notin U$
2. $\forall u,v满足条件1,w(u,v)是最小的$

则G中一定存在一个最小生成树,它包含上述的这条边.

7.3 割点、桥和割集

定义7.3.1 割点

设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于G的支数，则称v是G的一个割点。

定义7.3.2 桥

设x是G的一条边，若G-x的支数大于G的支数，则称x是G的一个割边（桥）。

定理7.3.1 割点之间的等价命题

1. v是G的一个割点
2. 存在与v不同的两个顶点u,w，使得它们之间每条路都经过v
3. 集合$V\setminus \{v\}$有一个二划分$\{U,W\}$，使得这两个集合之间任何点的路都经过v。

定理7.3.2 非平凡连通图割点

每个非平凡（不是(1,0)图）的连通图至少有两个顶点不是割点。证明用生成树的1度顶点来证明。

定理7.3.3 割边之间的等价命题

1. x是G的桥
2. x不在G的任一圈上
3. 存在G的两不同顶点uv，x在它们之间所有路上
4. 集合$V\setminus \{v\}$有一个二划分$\{U,W\}$，使得两集合之间任何点的路都经过x

定义7.3.3 割集

设$G=(V,E)$是图，$S\subseteq E$.如果$G-S$的支数大于G的支数,而去掉S的任一真子集的边得到的图不满足该性质,则S是G的一个割集.

定理7.3.4 割集与支

设S是G的割集,则G-S恰好有两个支.

推论7.3.1 割集与支的变化

G是一个有k个支的图，S是G的割集，则G-S恰好有k+1个支。

推论7.3.2 不连通图的割集

不连通图G的每个割集一定是G某个支的割集。

定理7.3.5 生成树与割集

设T是连通图G的任一生成树，G的任何一个割集都一定包含有T中的边。

定理7.3.6 圈与割集

连通图G的每个圈与G的任一割集有偶数条公共边。

定理7.3.7 基本圈与割集

设T是连通图G的一个生成树，e是T的一条弦，C是由T+e确定的一个基本圈。则e包含在“C上除e外的每条边确定的T的基本割集”中，但不包含在其他割集中。

定理7.3.8 生成树与割集

[相对树的基本割集系统]T是G的一个生成树，x是T里面的边。T-x由两个支，于是V被分成两部分。由这两部分确定的割集称为由边x确定的基本割集。

T的每条边确定的割集称为G的相对T的基本割集。所有这些割集之集称为G的相对T的基本割集系统。

[基本割集定理]T是G的生成树，x是T的边，S为由x确定的相对T的一个基本割集，则x必在由S的每条弦确定的基本圈上，而不再任一基本圈上。

八、连通度与匹配

8.1 顶点连通度和边连通度

定义8.1.1 顶点连通度（连通度）

设G=(V,E)是一个无向图。V的子集S，如果G-S是不连通的，则S称为分离图G。图G的顶点连通度$\kappa (G)$是为了产生一个不连通图或平凡图（平凡图针对的目标是完全图，完全图只能删除到$K_1$才行）所需要从G中去掉的最少顶点数目。

顶点连通度又被称为图的连通度。

定义8.1.2 边连通度

图G的边连通度$\lambda (G)$是为了从G产生不连通或平凡图所需从G中去掉的最小边数。

定理8.1.1 连通度与顶点度关系

$$\kappa (G)\le \lambda (G)\le \delta (G),顶点连通度\le 边连通度\le 最小度$$

定理8.1.2 构造满足各度的图

对于任何整数$0<a\le b\le c$存在一个图G使得
$$\kappa (G)=a,\lambda (G)=b,\delta (G)=c$$
[构造方法]：

1. $a=b=c$,构造$G=K_{a+1}$.
2. $a=b<c$,构造:两个$K_{c+1}$,中间用a条互不相交的边连接.
3. $a<b=c$,构造:两个$K_{b-a+1},叫G_1,G_2$,一个$K_a$,对$K_a$的每个点与$G_1,G_2$每个点都连一条边.
4. $a<b<c$,构造:两个$K_{c+1},分别叫G_1,G_2$,从$G_1$选a个点,第一个点向$G_2$连$b-a+1$条另一端点不同的边;剩下的$a-1$个点向$G_2$连接$a-1$条互不相交的边.

引理8.1.1 边连通度与点集划分

设$G=(V,E)$,且$\lambda (G)>0$.则存在V的二划分$A,V\setminus A$,使得G中联结A与$V\setminus A$中一个顶点的边的总数为$\lambda (G)$.

定理8.1.3 判定边连通度与最小度相等

G=(V,E)，有p个顶点且$\delta (G)\ge \lfloor \frac{p}{2}\rfloor ([\frac{p}{2}])$，则$\lambda (G)=\delta (G)$。

定理8.1.4 点连通度与图的大小

G=(p,q)=(V,E)。则：

1. $\text{if}q<p-1,\kappa (G)=0$
2. $\text{if}q\ge p-1,\kappa (G)\le \lfloor \frac{2q}{p}\rfloor$

定义8.1.3 n-顶点连通、n-边连通

G是一个图，如果$\kappa (G)\ge n$，则称G是n-顶点连通的，简称n-连通；如果$\lambda (G)\ge n$，则称G是n-边连通的。

注意：这个n可以小于你的顶点连通度、边连通度。

定理8.1.5 2-顶点连通判定条件

G是一个p顶点的图，且$p\ge 3$。则G是2-连通的，当且仅当G的任两个不同顶点都在G的同一个圈上。

定理8.1.6 n-边连通判定条件

设G是一个图，则其n-边连通的充要条件是：不存在V的真子集A，使得G中联结A和$V\setminus A$的边的总数小于n。

8.2 *门格尔定理

[选择性断更这一节]

8.3 匹配、霍尔原理

这个东西课件上都是打星号内容

[主要内容]

1. 两条不邻接的边称为是相互独立的。

2. E的子集Y，如果Y中边两两独立，则Y是G的一个匹配。

3. Y是最大匹配等价于任一匹配$Y^{\prime },|Y^{\prime }|\le |Y|$。

4. 偶图的完全匹配是指一个$Y\subseteq E$，且$\forall x\in Y$,都是联结偶图两个子集的边.并且$|Y|=\min \{|V_1|,|V_2|\}$.称Y是偶图G的完全匹配.

5. m个姑娘,n个小伙子.m个姑娘都能嫁给自己认识的小伙子,这个问题有解的充要条件是对于任意$k\in [1,m]$任意k个姑娘认识的小伙子总数不小于k.

6. 霍尔原理.设X是一个有限集,系统$T:A_1,A_2,A_3,\dots ,A_n$是X的一些子集构成的,则T有相异代表系的充要条件是对于$\forall I\subseteq \{1,2,3,4,\dots ,n\}$都有$|{\cup }_{i\in I}{A}_i|\ge |I|,(Hall条件)$.这个可以看作是上面问题的形式化拓展.

7. G是一个偶图,$|V_1|\le |V_2|$,令$\varphi :V_1\to 2^{V_2}$,且对应关系如下$v_i\in V_1,u_i\in V_2$:
   $$\varphi (v_i)=\{u_j|u_j\in V_2且v_i{u}_j\in E\}$$

8. $G=(V_1\cup V_2,E)$为偶图,$|V_1|\le |V_2|$,则G有完全匹配的充要条件是对于$V_1$的任一子集S,$|\varphi (S)|\ge |S|$,其中$\varphi (S)=\{u|u\in V_2,且\exists v\in S,使得vu\in E\}$.

9. Y是G的一个匹配,如果$2|Y|=|V|$,则称Y是G的一个完美匹配.

10. r-正则偶图G一定有一个完美匹配,其中$r\ge 1$.

11. 设$T:A_1,A_2,\dots ,A_n$为有限集X的子集构成的系统,系统T的集系统S是T的子序列构成的系统.如果S有相异代表系,则称子系统S的相异代表系为系统T的部分相异代表系.

12. 设$T:A_1,A_2,\dots ,A_n$为有限集X的子集构成的系统,则T有一个有t个不同元素组成的T的部分相异代表系的充要条件是$\forall A\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$使得$|{\cup }_{i\in A}{A}_i|\ge |A|-(n-t)$.

13. 设$T:A_1,A_2,\dots ,A_n$为有限集X的子集构成的系统,则T的部分相异代表系所含元素的最大值t等于
    $$\underset{B\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}{\min }\{|{\cup }_{i\in B}{A}_i|+(n-|A|)\}$$

14. G是一个偶图且$|V_1|\le |V_2|$,G的最大匹配中边数记作M(G).则
    $$\begin{array}{rl}M(G)=& \underset{A\subseteq V_1}{\min }\{|{\cup }_{v\in A}\varphi (A)|+(|V_1|-|A|)\}\\ =& \underset{A\subseteq V_1}{\min }\{|A|+|\varphi (V_1\setminus A)|\}\end{array}$$

15. 由门格尔定理能推出霍尔定理

九、平面图与图的着色

9.1 平面图及其欧拉公式

平面图：其图解可以画在一个平面上，而且存在一种画法使得仅可能在顶点相交，边内部都不相交，就称为平面图。

定义9.1.1 可平面图

G称为被嵌入平（曲）面S内，如果G的图解已经画在S上，而且任何两条边除端点外都不相交。已嵌入平面内的图称为平面图。如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。

定义9.1.2 内外部面

平面图G把平面分成了若干个区域，这些区域都是单连通的（可以收缩到一个点），称之为G的面。其中无界的连通区域称为G的外部面，其余单连通区域称为G的内部面。

一个平面图可以没有内部面，但不能没有外部面。

定理9.1.1 欧拉公式

如果有p个顶点q条边的平面连通图G，有f个面，则
$$p-q+f=2$$
证明：使用归纳法，对面的个数进行归纳。

1. 去掉一个边x，打通了两个面，此时G-x=(p,q-1)
2. p - (q-1) + (f-1) = 2由归纳假设可知正确
3. p - q + f = 2因此得到这个也是正确的

定理9.1.1’ 非连通图欧拉公式

如果有p个顶点q条边的平面图G，有f个面，k个支，则
$$p-q+f=k+1$$
证明：对每个支列式子，然后加起来。

推论9.1.1 面的边缘长相等

如果平面连通图G由p个顶点q条边，而且每个面都是由长度为n的圈围成的，则
$$\begin{gathered} p-q+f=2 \\ 2q=nf\Rightarrow f=\frac{2q}{n}\Rightarrow \\ q=n(p-2)/(n-2) \end{gathered}$$

最大可平面图

最大可平面图是一个可平面图。对此可平面图中不能再加入边而不破坏图的可平面性。

简称：加了新边就一定不是可平面图。

推论9.1.2 三角形最大可平面图

G=(p,q)是最大可平面图，则G的每个面都是三角形，且$q=3p-6$.

推论9.1.3 面长均为4

G是一个可平面连通图，G的每个面都是一个长为4的圈围成的，G=(p,q)，则$q=2p-4$

推论9.1.4 可平面图边数

若G是任一有p顶点q个边的可平面图$p\ge 3$，则$q\le 3p-6$；若G是2-（顶点）连通图且G中没有三角形，则$q\le 2p-4$.

推论9.1.5 K5和K3,3

$K_5,K_{3,3}$都不是可平面图

推论9.1.6 顶点度最小值

每个平面图G的顶点度的最小值不超过5,即$\delta (G)\le 5$.

9.2 非哈密顿平面图

前言:1968年,Grinberg发现平面图是哈密顿图的一个必要条件.

定理9.2.1 平面哈密顿图

$G=(V,E)=(p,q)$是一个平面哈密顿图(字面意思,平面图+哈密顿图),C是G的哈密顿圈.令$f_i$为C内部由i条边围成的面的个数,$g_i$是C的外部由i条边围成的面的个数.

1. $1f_3+2f_4+\cdots ={\sum }_{i=1}^p(i-2)f_p=p-2$
2. $1g_3+2g_4+\cdots ={\sum }_{i=1}^p(i-2)g_p=p-2$
3. $1(f_3-g_3)+2(f_4-g_4)+\cdots ={\sum }_{i=1}^p(i-2)(f_p-g_p)=0$

如果不满足这个条件就不是平面哈密顿图,也就是非哈密顿平面图.

9.3 库拉托斯基定理、对偶图

定义9.3.1 细分图

$x=uv$是$G=(V,E)$的一条边，又w不是G的顶点，则当用$uw,wv$代替边x的时候，就称x被细分。如果G的某些边被细分，产生的图称为G的细分图。

定义9.3.2 同胚

两个图称为同胚的，如果它们都可以从一个图通过一系列边细分得到。

定理9.3.1 库拉托斯基定理（可平面图充要条件）

一个图是可平面的充要条件是它没有同胚于$K_5,K_{3,3}$的子图。[这个充分性证明比较复杂,课本也无]

定义9.3.3 初等收缩

一个图G的一个初等收缩由等同两个邻接的顶点uv得到，即从G中去掉uv，然后再加上一个顶点w，使得w邻接于所有邻接于u或v的顶点。一个图G可收缩到图H，如果H可以从G经一系列的初等收缩得到。

说人话：用一个新的点w代替两个邻接的顶点uv

定理9.3.2 瓦格纳定理（可平面图充要条件-反向）

一个图是可平面的当且仅当它没有一个可以收缩到$K_5,K_{3,3}$的子图。

定义9.3.4 对偶图

G=(V,E)是一个平面图，由G按照以下方法构造一个图$G^{\ast }$，称为G的对偶图。

1. G的每个面f对应地由$G^{\ast }$地一个顶点$f^{\ast }$。
2. 对G地每条边e对应地有$G^{\ast }$的一条边$e^{\ast }$.
3. $G^{\ast }$的两个顶点$f^{\ast },g^{\ast }$由边$e^{\ast }$联结,等价于G中的f和g以公共边e连接.
4. 如果某条边x仅在G的一个面中出现而不是两个面的公共边,则这个面在$G^{\ast }$中增加一个自环.

9.4 图的顶点着色

定义9.4.1 顶点着色

图的一种(顶点)着色是指对图的每个顶点指定一种颜色,使得没有两个邻接的顶点有同一种颜色.G的一个n-着色是用n种颜色对G着色.

G=(V,E)已着色,则着同一个颜色的那些顶点之集称为G的一个色组.同一色组内各顶点互不邻接.这样的顶点集合称为G的一个顶点独立集.如果G有一个n-着色,则G的顶点集V被这个着色划分称n个色组.

定义9.4.2 色数

图G的色数是使G为n-着色的数n的最小值.G的色数记作$\chi (G)$.如果$\chi (G)\le n$则称G是n-可着色的.若$\chi (G)=n$,则称G是n色的.

常见的几种图的色数

1. $\chi (K_p)=p$
2. $\chi (K_p^c)=1$
3. $\chi (K_{m,n})=2$
4. $\chi (C_{2n})=2,偶数长度的圈$
5. $\chi (C_{2n+1})=3,奇数长度的圈$
6. $\chi (T)=2,T非平凡树$

定理9.4.1 可双色图

一个图是可双色的当且仅当它没有奇数长度的圈.

定理9.4.2 最大顶点度与色数

G一定是$\Delta (G)+1$-可着色的.其中$\Delta (G)$是顶点度最大值.

定理9.4.3 最大定点数与色数的特殊情况

G 1.是连通图 2.且不是完全图 3.也没有奇数长度的圈 则G是$\Delta (G)$-可着色的.

定理9.4.4 平面图着色

每一个平面图G都是6-可着色的.证明:归纳于顶点数.

定理9.4.5 5色定理

每一个平面图都是5-可着色的.证明:归纳于顶点数.

定理9.4.6 4色定理

每个平面图都是4-可着色的.这个由计算机证明过.

9.5 图的边着色

[断更]