区间最值查询 --RMQ算法

作者:Dong | 新浪微博：西成懂 | 可以转载, 但必须以超链接形式标明文章原始出处和作者信息及版权声明

网址:http://dongxicheng.org/structure/lca-rmq/

本博客的文章集合:http://dongxicheng.org/recommend/
以下内容转载自（董的博客）（http://dongxicheng.org/structure/lca-rmq/）
RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，本文介绍了当前解决这两种问题的比较高效的算法。
2、 RMQ算法
对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法也许会存在问题。
本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。
首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段(前一半和后一半)（因为f[i，j]一定是偶数个数字,因为f[i,j]表从i开始长度为2^j个的最大值，即他的个数一定为2^j，平分后每个的个数都为2^(j-1)），前一半的长度为2^（j-1），下标为从i到i+2^(j-1)-1，即F[i，j-1]；后一段的长度也为2^（j-1），下标为i+2^(j-1)到i+2^j-1，即F[i + 2^(j-1)，j-1]。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。
下面的MAX[][]就是F[][].

/st算法 动态规划 初始化 max min
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        MAX[i][0]=a[i];
        MIN[i][0]=a[i];
    }
//用动态规划计算其他的值，但是要注意，这里
//循环应该先循环列，在循环行（即j的循环应该在外围，i的循环应该在里面）原因是比如,MAX[1][3]=max(MAX[1][2]+MAX[4][2]),
//在计算MAX[1][3],就要用到MAX[1][2],和MAX[4][2],而如果先循环行i的话，就回使用到还没有计算的值，最终的值一定会出错。
    for( int j=1;j<=(log(N)/log(2));j++)
    {
        for(int i=1;i<=N-pow(2,j)+1;i++)//注意i下标的范围见下面讲解
        {
            MAX[i][j]=max(MAX[i][j-1],MAX[i+(int)pow(2,j-1)][j-1]);
            MIN[i][j]=min(MIN[i][j-1],MIN[i+(int)pow(2,j-1)][j-1]);
        }
    }

其他类似代码：

for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&FMAX[i][0]);
        FMIN[i][0]=FMAX[i][0];
    }
    for(int i=1;i!=20;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(j+(1<<i)-1<=n)
            {
                FMAX[j][i]=max(FMAX[j][i-1],FMAX[j+(1<<(i-1))][i-1]);
                FMIN[j][i]=min(FMIN[j][i-1],FMIN[j+(1<<(i-1))][i-1]);
            }

然后是查询。取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(A, i, j)=max{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明，要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。（f[2,2]表示 从2开始长度为2^2=4 的最大数，即a[2~5]的最大数 ，同理 f[5,2]是 a[5~8]的最大数）

所以有RMQ(A, i, j)=max{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}
代码为：

for(int i=0;i"%d%d",&m,&n);
        k=(int)(log(n-m+1)/log(2));
        e=max(MAX[m][k],MAX[n-(int)pow(2,k)+1][k]);
        f=min(MIN[m][k],MIN[n-(int)pow(2,k)+1][k]);
        printf("%d\n",e-f);
    }

当然，该问题也可以用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，具体可阅读这篇文章：《数据结构之线段树》。http://dongxicheng.org/structure/segment-tree/