【NOIP2012模拟10.17】石子游戏

Description

两人取一堆n个石子 先手不能全部取完 之后每人取的个数不能超过另一个人上轮取的数*K。取完最后一个石子的人获胜。给n，K判断先手必胜并求第一步。

Input

输入文件名为 stone . in。

第一行为一个正整数t（1<=t<=10），表示共t组测试数据

接下来t行，每行包括两个正整数n,k

Output

输出文件名为stone.out。

共t行，第i行先输出“Case i: ”（不包括引号），接着输出结果，若先手有必胜策略则输出第一次取的石子数（答案不唯一，输出第一步最小选几），否则输出lose。

Sample Input
5
16 1
11 1
32 2
34 2
19 3

Sample Output
Case 1: lose
Case 2: 1
Case 3: 3
Case 4: lose
Case 5: 4

Data Constraint

Hint
对于10％的数据k=1；
对于30％的数据1<=k<=2；
对于100％的数据2<=n<=100000000,1<=k<=100000。

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分析
当k=1的时候 可知必败局面都是2^i 将n分解成二进制，然后先手取掉最后一个1.然后对方必然无法去掉更高的1，而对方取完我方至少还能拿掉最后一个1 导致对方永远取不完。

当k=2的时候，必败局面都是斐波那契数列。利用“先手去掉最后一个1，则后手必不能去掉更高阶的1导致取不完”的思想，斐波那契数列有一个非常好的性质就是：任意一个整数可以写成斐波那契数列中的不相邻的项的和，于是将n写成这种形式，先取走最后一个1，对方能取的数是这个数*2，小于高2位的1，所以取不完。

当k>=3的时候， 想办法构造数列，将n写成数列中一些项的和，使得这些被取到的项的相邻两个倍数差距>k 那么每次去掉最后一个1 还是符合上面的条件。设这个数列已经被构造了i 项，第 i 项为a[ i ]，前 i 项可以完美对1…b[ i ] 编码使得每个编码的任意两项倍数>K 那么有
a[ i+1 ] = b[ i ] + 1;这是显然的 因为b[ i ] + 1没法构造出来，只能新建一项表示
然后计算b[ i+1] 既然要使用 a[ i+1 ] 那么下一项最多只能是某个 a[ t ] 使得 a[ t ] * K < a[ i+1 ] 于是
b[ i ] = b[ t ] + a[ i+1 ]
然后判断n是否在这个数列里面
如果在，那么先手必败。否则不停的减掉数列a中的项构造出n的分解，最后一位就是了。

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k<=2的情况都好理解，我们在理解k<=2的基础上分析k>=3时，如何理解构建a、b的问题：

犹如Fibonacci博弈，我们首先要求一个数列，将n分解成数列中一些项的和，然后就可以按Fibonacci博弈的解决方法来完成，也可以按二进制的方法来理解，每次取掉最后一个1 还是符合上面的条件。

i为当前已构建数列中的第i项

我们用a数组表示要被求的数列，b数组中的b[i]保存 a[0…i] 组合能够构造的最大数字。
这儿有点难理解，所谓构造就是指n分解为Fib数相加的逆过程。
举例说明，当k = 2 时，a[N]={1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33…} （Fibonacci数组）；那么b[3] 即 1、2、 3 能够构造的最大数字，答案是4，有点匪夷所思？或许你会问为什么不是5、6或者其它的什么，其实是这样的 ，4 能分解成 1+3 是没有争议的，但5能分解成2+3吗? 不能，因为5本身也是Fibonacci数；6虽然能分解，但不是分解成1+2+3，而是分解成1+5。

经过上述，我们知道b[i] 是 a[0…i] 能够构造出的最大数字，那么a[i +1] = b[i]+1；
因为a数组（Fib数组）所存的数字都是不可构造的（指取到它本身就是必败态），显然a[0…i]构造的最大数字 + 1 即为下一个不可构造的数字了(a[i + 1])。

然后关于b[i]的计算，既然是a[0…i]构造最大数字，那么 a[i]是一定要选用的（这儿需要一定的推理，a[i]构造数字时，相邻的j个是不能同时用的，就像上述的2、3不能构造出5一样，推理请自己完成），那么要选用的下一项只能递减寻找，直到找到 最大的a[t] 满足 a[t] * k < a[i] ，而b[t]就是a[0…t]所能构造的最大数字，再加上a[i], 即为a[0…i]能构造的最大数字，于是b[i] = b[t] + a[i]。

求的数列后，之后的工作就简单了，跟Fibonacci博弈一样一样的，如果n=数列中的数，则必败，否则必胜；必胜时还要求输出第一步取法，其实就是分解的数列中最小的一个，将见代码。

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程序：

#include
#include
#include
using namespace std;

int a[2000010],b[2000010],t,n,k;	// a 为数列， b 保存 a[0...i] 能构造出的最大的数

int main()
{
    scanf("%d",&t);
    for (int t1=1;t1<=t;t1++)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        int i=0,t=0;
        a[0]=b[0]=1;
        while (a[i]=a[i])
                {
					ans=a[i];
					n-=a[i];
				}
				i--;
			}
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}