和Leo一起做爱数学的好孩子之CERC2017 Gambling Guide

一个在邻国的铁路系统是由nn个城市（编号从11到nn），和mm条连接两个不同城市的双向铁路组成的。铁路票只能在安装在每个城市的自动售票机购买。不幸的是，黑客们已经篡改了这些售票机，现在它们有下面的规则： 当aa市的售票机有一个硬币投入时，机器会发一张从aa市到随机一个邻市的单程票。更精确地来说，目的地城市是被统一的、随机的从所有由出发城市为起点的铁路的终点中选取的。

一个研究计算机科学的学生需要从城市11（她生活在那里）到城市nn（那里正举行一个编程比赛）。她知道机器是怎么工作的（但当然她不能预测随机的目的地）并且有一份铁路系统的地图。在每一个城市，当她买了一张票时，她可以选择立即使用它后到达目的地，或者是丢掉它并买一张新票。她可以无限制的购买的票。当她一到达n城市，旅行就会结束。

在做了一些计算之后，她制定了一个拥有以下的目标的旅行计划：

• 旅行最终到达终点的概率为1
• 预期花在旅行上的硬币越少越好

找到这个预期的她要花在旅途上的硬币数

额。怎么让期望概率为1：

这个我最先想的是：以n为起点跑一次最短路，每次转移更近的节点。

但这并不完全正确

因为：这个最短路距离并不是实际的花费

所以应当转移：期望距离

这个时候需要用Dijkstra转移

设为期望步数他按照刚刚的理论可以跟新所有大于他的状态

答案为

用堆贪心转移就好了

#include
using namespace std;
const int N=1e6+10;
inline void read(int &x){
    x=0;
    char ch=getchar();
    int f=1;
    while(ch<'0'||ch>'9'){
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9'){
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    x*=f;
}
struct Front_star{
    int u,v,nxt;
}e[N<<1];
int cnt=0;
int first[N];
void add(int u,int v){
    ++cnt;
    e[cnt].u=u;
    e[cnt].v=v;
    e[cnt].nxt=first[u];
    first[u]=cnt;
}
struct Node{
    double len;
    int u;
};
priority_queue Q;
bool operator < (Node A,Node B){
    return A.len>B.len;
}
double F[N];
double s[N];
int d[N];
int vis[N];
int c[N];
int n,m;
int main(){
//	freopen("test.in","r",stdin);
    read(n);
    read(m);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u,v;
        read(u);
        read(v);
        add(u,v);
        add(v,u);
        d[u]++;
        d[v]++;
    }
    Q.push((Node){0,n});
    while(!Q.empty()){
        Node Now=Q.top();
        Q.pop();
        int u=Now.u;
        if(vis[u])continue;
        vis[u]=1;
        for(int i=first[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].v;
            if(vis[v])continue;
            c[v]++;
            s[v]+=F[u];
            F[v]=(s[v]+d[v])/((double)c[v]);
            Q.push((Node){F[v],v});
        }
    }
    printf("%.8lf",F[1]);
}