LeetCode题解——64. 最小路径和

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题目链接

LeetCode中国，https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum/。

题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

题目分析

LeetCode 给出本题难度中等。一个非常经典的动态规划问题。

本题的核心是：每次只能向下或者向右移动一步。我们可以使用动态规划自顶向下生成的方法来分析问题。

样例数据分析

根据题目的意思，我们从数组的左上角出发，也就是（0, 0）这个位置出发。根据规则，我们只能向下或者向右移动一次，一次走一步。如下图所示。

根据这个前提条件，我们需要构造一个动态规划数组，也就是 DP 数组，用来描述走到 i, j 这个位置的最小代价。

初始状态

原始数据的初始状态如下图所示。

DP 数组的初始状态可以这样推导出。

1、dp[0][0] 这个点。自然最小代价就是数组的（0，0）点的值，也就是 dp[0][0]=grid[0][0]=1。

2、第 0 行。根据行走规则，只能向右移动。也就意味着 dp[0][j] = dp[0][j-1]+grid[0][j-1]，因为我们是从右边移动过来，所以代价就是右边 dp 数据加上 grid 本格的数据。

3、第 0 列。根据行走规则，只能向下移动。也就意味着 dp[i][0] = dp[i-1][0]+grid[i-1][0]，因为我们是从上边移动过来，所以代价就是上边 dp 数据加上 grid 本格的数据。

这样，我们就得到了 DP 数组对应的初始状态。

DP 数组构造

这样，假设一个位置为（i，j），根据移动规则，要走到这个位置，只有两个可能：1、从（i-1, j）向下走一步；2、从（i, j-1）向右走一步。因此我们可以推导出 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + gird[i][j]。

1、（1, 1）点。从（0, 1）点走过来的代价是 4+5=9；从（1, 0）点走过来的代价是 2+5=7。因此最小代价为 7。

2、（1, 2）点。从（0, 2）点走过来的代价是 5+1=6；从（1, 1）点走过来的代价是 7+1=8。因此最小代价为 6。

3、（2, 1）点。从（1, 1）点走过来的代价是 7+2=9；从（2, 0）点走过来的代价是 6+2=8。因此最小代价为 8。

4、（2, 2）点。从（1, 2）点走过来的代价是 6+1=7；从（2, 1）点走过来的代价是 8+1=9。因此最小代价为 7。

这样，利用一个两重循环，我们可以推导出完整的 DP 数组。对应数据如下：

这样，我们就得到最终的最小代价为 dp[2][2]=7。

AC 参考代码

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector>& grid) {
        //获取行
        int row = grid.size();
        int col = grid[0].size();

        //特殊处理
        if (0==row || 0==col) {
            return 0;
        }

        //DP数组
        auto dp = vector>(row, vector(col));
        //初始化DP
        dp[0][0] = grid[0][0];
        //第0行数据
        int i,j;
        for (j=1; j

算法分析

时间复杂度

空间复杂度