【笔记】dfs序，欧拉序，LCA的RMQ解法
DFS序
DFS序的定义
将树节点按dfs过程中的访问顺序排序，称为dfs序。
性质
一个节点和它的子树在一个连续的区间中。
时间戳
在dfs过程中，设访问一个新节点需要花费1s的时间，我们可以记录下每个节点的进入时间与退出时间，称为时间戳。显然进入时间是dfs序的反函数，即dfs序中的第i个点的进入时间是i。
int st[M], ed[M];
void dfs(int now, int fa = 0)
{
static int cnt = 0;
st[now] = ++cnt;
for(int i = fst[now]; i; i = nxt[i])
if(pnt[i] != fa) dfs(pnt[i],now);
ed[now] = cnt;
}
应用
1.判断节点的从属关系
如果st[x]
2.POJ 3321 Apple Tree
一棵树，操作一改变一个点的权值，操作二求以某个点为根的子树的权值和。
如果求出了这棵树的dfs序，就可以将问题从树转化为数字序列上的问题。
操作1：单点修改
操作2：区间求和，范围是st[x],ed[x]
使用树状数组维护即可。
#include 欧拉序
欧拉序的定义
树在dfs过程中的节点访问顺序称为欧拉序.
欧拉序有很多种，只要整体满足dfs顺序即算欧拉序，应当按实际需要选择适合的欧拉序。
欧拉序与dfs序不同地方在于，欧拉序中每个节点可以出现多次，比如进入一次退出一次，又比如每次回溯时记录一次。
1.每次访问一个节点时记录一次
应用：LCA归约为RMQ
这也是最经典的应用。
LCA（Lowest Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。
RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指在数列中求一段区间的最大或最小值。
ST表（Sprase Table），Tarjan发明，可以预处理复杂度O(nlogn)，查询复杂度O(1)地解决RMQ问题，不支持修改.
参见：RMQ问题与Sparse Table算法
假设现在需要求x和y的LCA，跑一遍欧拉序并记录时间戳st和ed后，st[x],st[y],ed[x],ed[y]的大小关系只有两种情况（交换后）：
- st[x]
- st[x]<=ed[x]
在实现时，先对欧拉序建立st表，比较规则是选择深度小的，查询只要查询min(deep[x],deep[y]),max(deep[x],deep[y])之间深度最小的节点即可。
实际上，可以不用额外统计深度，而把比较规则改为选择st[x]小的。（想一想，为什么）
代码
int st[M], ed[M];
int euler[M*2],cnt;
void dfs(int now,int fa=0)
{
euler[++cnt] = now;
st[now] = cnt;
for(auto nxt:edge[now]) if(nxt!=fa)
{
dfs(nxt,now);
euler[++cnt] = now;
}
ed[now] = cnt;
}
SpraseTable stable;
void lca_init()
{
dfs(root);
stable = SpraseTable(euler,cnt,[](int a,int b){return st[a]<st[b]?a:b;});
}
int lca_query(int a, int b)
{
int a = st[read()], b=st[read()];
printf("%d\n",stable.query(min(a,b),max(a,b)));
}
Luogu P3379【模板】最近公共祖先（LCA）
模板题
#include HDU - 2586 How far away ？
给一棵带边权的无根树，若干次询问，每次询问两个节点的最短距离。
以任意一点为根建立欧拉序，同时dfs出所有节点到根节点的距离，询问a,b的答案就是dis[a]+dis[b]-2*dis[lca(a,b)]
/* LittleFall : Hello! */
#include 终于学到这里了，可以回去补那个该死的cf1051F了QAQ
2. 欧拉序：进入记录一次，退出记录一次
dfs序与欧拉序的花式用法：DFS序详解-比特飞流
这边的方法好像和树链剖分有很大关系，以后学树剖的时候再看看。
BZOJ4034 树上操作
有一棵点数为 N 的树，以点 1 为根，且树点有边权。然后有 M 个
操作，分为三种：
操作 1 ：把某个节点 x 的点权增加 a 。
操作 2 ：把某个节点 x 为根的子树中所有点的点权都增加 a 。
操作 3 ：询问某个节点 x 到根的路径中所有点的点权和。
这道题，普通做法是树链剖分+数据结构，文艺做法是欧拉序+线段树，玄学做法是欧拉序+树状数组。
好了，因为我不会树链剖分与线段树，使用了玄学做法，参考自(https://blog.csdn.net/youhavepeople/article/details/74356827).
首先求欧拉序，进入记录一次正点权，退出记录一次负点权。
三个操作转化为：
- 两个单点修改
- 区间修改，正的加，负的减
- 区间求和
一个正常的树状数组是做不到第二个操作的，于是用三个树状数组c0,c1,c2维护这个东西。
c0维护原始序列，当有操作1时， c 0 [ s t [ x ] ] + = a , c 0 [ e d [ x ] ] − = a c0[st[x]]+=a,c0[ed[x]]-=a c0[st[x]]+=a,c0[ed[x]]−=a
c1记录区间修改，当有操作2时， c 1 [ s t [ x ] ] + = a , c 1 [ s t [ x ] ] − = a c1[st[x]]+=a,c1[st[x]]-=a c1[st[x]]+=a,c1[st[x]]−=a
c2记录区间修改乘以高度，当有操作2时， c 2 [ s t [ x ] ] + = a ∗ d e e p [ x ] , c 2 [ e d [ x ] ] − = a ∗ d e e p [ x ] c2[st[x]]+=a*deep[x],c2[ed[x]]-=a*deep[x] c2[st[x]]+=a∗deep[x],c2[ed[x]]−=a∗deep[x]
操作3： a n s = s u m 0 ( s t [ x ] ) + s u m 1 ( s t [ x ] ) ∗ ( d e e p [ x ] + 1 ) − s u m 2 ( s t [ x ] ) ans = sum_0(st[x])+sum_1(st[x])*(deep[x]+1)-sum_2(st[x]) ans=sum0(st[x])+sum1(st[x])∗(deep[x]+1)−sum2(st[x])
多个树状数组的组合，真的很玄学。
#include