bzoj 2467 //2467: [中山市选2010]生成树 找规律/矩阵树
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更多题解，详见https://blog.csdn.net/mrcrack/article/details/90228694BZOJ刷题记录
找规律
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//2467: [中山市选2010]生成树
//在线测评地址https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2467
//感觉与 bzoj 1002 //1002: [FJOI2007]轮状病毒 很像，搜索网络，确实如此，该好好的学习矩阵树定理了
//找规律，此文思路真不错https://www.luogu.org/problemnew/solution/P4821 作者: zhongzijun 更新时间: 2019-04-14 07:20
/*
//图中一共有4n4n4n个点,5n5n5n条边。根据生成树的性质，我们需要删除n+1条边。
我们再仔细观察，发现它变成一颗树，需要将所有五边形删去一条边，得方案 5 的 n 次方。 然后其中一个五边形要再删去一条边，且这条边必须要在中心圈上。所以剩下一条边只有 4 种方案，得方案 4n5^(n-1)。——zdw
*/
//从思维层面，找规律，要求极高.2019-9-22 7:43
//样例通过，提交AC.2019-9-22 7:59
//
#include
#define mod 2007
int quick_pow(int a,int n){//快速幂
int ans=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
n>>=1;
}
return ans;
}
#define mod 2007
int main(){
int t,n;
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",4*n*quick_pow(5,n-1)%mod);
}
return 0;
}
矩阵树
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//矩阵树
//最大的难点在于建树
//此文https://blog.csdn.net/dreaming__ldx/article/details/85626736建树代码写得不错．
//关于矩阵树的使用，此文https://blog.csdn.net/cj1064789374/article/details/85385456介绍得不错，摘抄如下
/*
下面我们介绍一种新的方法——Matrix-Tree定理(Kirchhoff矩阵-树定理)。Matrix-Tree定理是解决生成树计数问题最有力的武器之一。它首先于1847年被Kirchhoff证明。在介绍定理之前，我们首先明确几个概念：
1、G的度数矩阵D[G]是一个n*n的矩阵，并且满足：当i≠j时,dij=0；当i=j时，dij等于vi的度数。
2、G的邻接矩阵A[G]也是一个n*n的矩阵， 并且满足：如果vi、vj之间有边直接相连，则aij=1，否则为0。
我们定义G的Kirchhoff矩阵(也称为拉普拉斯算子)C[G]为C[G]=D[G]-A[G]，则Matrix-Tree定理可以描述为：G的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff矩阵C[G]任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。所谓n-1阶主子式，就是对于r(1≤r≤n)，将C[G]的第r行、第r列同时去掉后得到的新矩阵，用Cr[G]表示。
生成树计数
算法步骤：
1、 构建拉普拉斯矩阵
Matrix[i][j] =
degree(i) , i==j
-1，i-j有边
0，其他情况
2、 去掉第r行，第r列（r任意）
3、 计算矩阵的行列式
*/
//关于高斯消元，此文https://blog.csdn.net/u013010295/article/details/47451451思路不错，摘抄如下
/*
有了这个定理，我们就可以轻松解决求无向图生成树个数的一些问题。现在的问题就在于如何求行列式。
显然，按行（列）展开求行列式的效率太低了。我们可以用高斯消元把矩阵消成上三角形式，其行列式就是主对角线上元素的乘积。消元的时间复杂度是O(n3)
的，因此总的时间复杂度就是O(n3)
的。需要注意的是，消元过程中，把一行乘上常数加到另一行上是不改变行列式的，然而交换两行是会改变行列式符号的。我们可以不记录交换两行的次数，只要对最后算出的答案取绝对值即可。
一般来说，我们采用double类型消元可以满足大部分题目的要求，然而有些丧心病狂的题目需要用long double才能AC。（你还记得IEEE 754规定的double有效位数是52位吗？也就是说，1015
内的数double都能精确表示出来，但是中间结果不一定是整数，它们能否精确表示就不好保证了）
值得一提的是，有些题目要求行列式模上一个数的结果。怎么求模意义下的行列式呢？这些题答案都比较大，用浮点数的话精度达不到要求，确实是一个问题。（显然强行用高精度分数类直接消元，最后再取模是可以的，但实现起来就复杂了）
我们注意到最后行列式是主对角线上的元素乘积再取模，根据同余定理，我们只需要对这些元素取模后的结果再相乘，就能得到相同的结果。因此我们可以采用在模意义下对矩阵消元的方法。然而消元过程中我们不可避免地要计算当前列的主元间的比值，这要用到除法；但另一方面，只有加法、减法、乘法操作才能保证同余，怎么在带有除法操作的条件下取模呢？
如果模的数是个质数（其实只需要模数和除数互质），对于除法我们可以直接变成乘上除数的逆元，根据费马小定理，这个逆元可以用快速幂简单求出来。如果模数不是质数，这就比较复杂了，我们在此介绍一种简单的方法。
我们知道，如果对于两个正数，不断地把较大的数减去较小的数，最后一定会有一个数为0
。你可能已经知道，这就是辗转相减法的过程。同样地，我们对于矩阵中的两行，不断地把主元较大的那一行减去主元较小的那一行，最终一定有一行主元为0
，也就是完成了消元（注意这里的减法是模意义下的减法）。而且这一过程是不改变行列式的。
（需要说明的是，一般情况下，矩阵中可能会有主元为负数的情况，这时我们简单的“大数减小数”显然是不行了。你可能会想到，要对正负数的各种情况判断一下，分别改为加法和减法操作。然而，这里我们讨论的是模意义下的矩阵消元，矩阵的元素都是正整数，并不存在这个问题。）
这样的减法效率还不够高，显然，如果两个主元相差太大，我们需要不断地用一行减去另一行。我们可以记录下两个主元相除的商x
（这里用的是整数除法，当不能整除的时候向上向下取整都可以，由于计算机内部的整数除法实现，我们一般是向下取整，而且也符合我们取商的直觉，下面复杂度计算的是向下取整的做法），一次性用主元较大的行减去主元较小的行乘上x倍，这样效率就大大提高了。我们这样做的复杂度是多少呢？其实你也许已经发现，这一过程实际上就是辗转相除法，所以时间复杂度是O(log(n))
的。
（一般的辗转相除法是求两个数a,b
的最大公倍数，它将这个问题转化为求b,amodb的最大公倍数。这里我们对两个主元a,b转化为b,a−(adivb)×b，因为a=(adivb)×b＋amodb
，所以这两个过程本质上是一样的。）
需要注意的是，交换两行是会改变行列式符号的，因此在消元过程中我们必须记录进行交换两行的次数的奇偶性，若是奇数，那么实际的行列式除了矩阵主对角线上的元素乘积，还要乘上模意义下的−1
，也就是模数减1。
*/
//编写过程中，不断遇到错误，更改多次，样例通过，提交AC.2019-9-23
#include
#include
#define maxn 500
#define mod 2007
int t,n,a[maxn][maxn],b[maxn];
void add(int u,int v){
++a[u][u],++a[v][v],--a[u][v],--a[v][u];
}
void build(){//建立矩阵
int u;
memset(a,0,sizeof(a));
for(u=1;u
int guass(){
int i,j,k,ans=1,mul;
for(i=1;i
mul=a[i][i]/a[j][i];
for(k=i;k
}
ans=ans*a[i][i]%mod;
}
return (ans+mod)%mod;//此处错写成return ans;
}
int main(){
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d",&n),n<<=2;
build();
printf("%d\n",guass());
}
return 0;
}