正交矩阵

• UUT=UTU=I U U T = U T U = I ，且 U U 是实数向量，则U是正交矩阵。可知 U U 的行（列）向量都是单位范数并且正交的。 det(U)=1or−1 d e t ( U ) = 1 o r − 1

• 行列式为+1的n维正交矩阵可以看作是n维旋转

• 正交矩阵的保范性质： (Ux)T(Ux)=xTx ( U x ) T ( U x ) = x T x

• 基变换矩阵：
  (β1,⋯,βn)=(α1,⋯,αn)⎡⎣⎢⎢a11⋮am1a12⋮am2......a1n⋮amn⎤⎦⎥⎥=(α1,⋯,αn)A ( β 1 , ⋯ , β n ) = ( α 1 , ⋯ , α n ) [ a 11 a 12 . . . a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 . . . a m n ] = ( α 1 , ⋯ , α n ) A

  X X 是在基 α α 下的坐标，Y是在基 β β 下的坐标，则 Y=A−1X Y = A − 1 X

  证明： αX=βY=αAY α X = β Y = α A Y ，所以 Y=A−1X Y = A − 1 X

可以看出，坐标轴整体旋转 ⇒ ⇒ 基变换矩阵是正交矩阵(+1) ⇒ ⇒ 坐标左乘正交矩阵(+1)。

• Givens旋转和RQ分解
  RQ分解是A=RQ，R是上三角矩阵，Q是正交矩阵。
  Givens旋转：
  

  Qx=⎡⎣⎢1cs−s−c⎤⎦⎥，Qy=⎡⎣⎢c−s1sc⎤⎦⎥，Qz=⎡⎣⎢cs−sc1⎤⎦⎥ Q x = [ 1 c − s s − c ] ， Q y = [ c s 1 − s c ] ， Q z = [ c − s s c 1 ]
  
  其中， c=cos(θ)，s=sin(θ) c = c o s ( θ ) ， s = s i n ( θ ) 。旋转方向都是逆时针，分别是y->z，z->x，x->y。之所以, Qy Q y 有所不同是因为（x，y，z）的坐标现后顺序。
  分解步骤：（1） AQx A Q x 使 A32=0 A 32 = 0 ；（2） AQxQy A Q x Q y 使 A31=0 A 31 = 0 ；（3） AQxQyQz A Q x Q y Q z 使 A21=0 A 21 = 0 。得到的前两列是原来前两列的线性组合，所以 A32,A31 A 32 , A 31 仍为0

• 分解中， Q Q 是正交矩阵， U U 是酉矩阵， R R 是上三角矩阵， L L 是下三角矩阵

• Householder矩阵和QR分解
  
  
  

采用Householder矩阵作矩阵乘法时，应利用矩阵的特殊形式来加速计算