正交矩阵

  • UUT=UTU=I U U T = U T U = I ,且 U U 是实数向量,则U是正交矩阵。可知 U U 的行(列)向量都是单位范数并且正交的。 det(U)=1or1 d e t ( U ) = 1 o r − 1

  • 行列式为+1的n维正交矩阵可以看作是n维旋转

  • 正交矩阵的保范性质: (Ux)T(Ux)=xTx ( U x ) T ( U x ) = x T x

  • 基变换矩阵:
    (β1,,βn)=(α1,,αn)a11am1a12am2......a1namn=(α1,,αn)A ( β 1 , ⋯ , β n ) = ( α 1 , ⋯ , α n ) [ a 11 a 12 . . . a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 . . . a m n ] = ( α 1 , ⋯ , α n ) A

    X X 是在基 α α 下的坐标,Y是在基 β β 下的坐标,则 Y=A1X Y = A − 1 X

    证明: αX=βY=αAY α X = β Y = α A Y ,所以 Y=A1X Y = A − 1 X

可以看出,坐标轴整体旋转 基变换矩阵是正交矩阵(+1) 坐标左乘正交矩阵(+1)。

  • Givens旋转和RQ分解
    RQ分解是A=RQ,R是上三角矩阵,Q是正交矩阵。
    Givens旋转:

    Qx=1csscQy=cs1scQz=cssc1 Q x = [ 1 c − s s − c ] , Q y = [ c s 1 − s c ] , Q z = [ c − s s c 1 ]

    其中, c=cos(θ)s=sin(θ) c = c o s ( θ ) , s = s i n ( θ ) 。旋转方向都是逆时针,分别是y->z,z->x,x->y。之所以, Qy Q y 有所不同是因为(x,y,z)的坐标现后顺序。
    分解步骤:(1) AQx A Q x 使 A32=0 A 32 = 0 ;(2) AQxQy A Q x Q y 使 A31=0 A 31 = 0 ;(3) AQxQyQz A Q x Q y Q z 使 A21=0 A 21 = 0 。得到的前两列是原来前两列的线性组合,所以 A32,A31 A 32 , A 31 仍为0

  • 分解中, Q Q 是正交矩阵, U U 是酉矩阵, R R 是上三角矩阵, L L 是下三角矩阵

  • Householder矩阵和QR分解
    正交矩阵_第1张图片
    正交矩阵_第2张图片
    正交矩阵_第3张图片

采用Householder矩阵作矩阵乘法时,应利用矩阵的特殊形式来加速计算

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