P5 几种重要的凸集
P5 几种重要的凸集
- 几种重要的凸集
- 空间
- 超平面与半空间
- 球和椭球
几种重要的凸集
空间
R n R^n Rn维空间，既是仿射集、凸集、凸锥。
R n R^n Rn维空间的子空间
R n R^n Rn维的子空间，既是仿射集、凸集、凸锥。
任意直线，既是仿射集、凸集，如果过原点是凸锥，否则不是。
任意线段，是凸集，但不是仿射集（排除只是一个点），不是凸锥（排除只是一个原点）。
以 x 0 x_0 x0为起点，向 v v v方向发射
{ x 0 + θ v ∣ θ ≥ 0 } x 0 ∈ R n , θ ∈ R , v ∈ R n \lbrace x_0 + \theta v | \theta \geq 0 \rbrace \quad x_0 \in R^n,\theta \in R,v \in R^n {x0+θv∣θ≥0}x0∈Rn,θ∈R,v∈Rn
不是仿射集（排除只是一个点）
是凸集
如果 x 0 x_0 x0为原点，就是凸锥
超平面与半空间
{ x ∣ a T x = b } x , a ∈ R b ∈ R a ̸ = 0 \lbrace x| a^Tx = b\rbrace \quad x,a\in R \;\; b\in R \;\; a \not= 0 {x∣aTx=b}x,a∈Rb∈Ra̸=0
a T x = b a^Tx = b aTx=b 这条直线就是超平面。以此平面分割的空间为半空间。
超平面是仿射集、凸集，如果过原点是凸锥。
半空间不是仿射集，是凸集，如果过原点就是凸锥。
球和椭球
球：
B ( x c , r ) = { x ∣ ∣ ∣ x − x c ∣ ∣ 2 ≤ r } = { x ∣ ( x − x c ) T ( x − x c ) ≤ r } B(x_c,r)=\lbrace x|\;\;||x-x_c||_2 \leq r \rbrace = \lbrace x|\sqrt{(x-x_c)^T(x-x_c)} \leq r \rbrace B(xc,r)={x∣∣∣x−xc∣∣2≤r}={x∣(x−xc)T(x−xc)≤r}
二维空间的球是凸集，不是仿射集（排除一个点），不是凸锥（排除原点）。
∀ x 1 , x 2 ∈ B ∣ ∣ x 1 − x c ∣ ∣ 2 ≤ r ∣ ∣ x 2 − x c ∣ ∣ 2 ≤ r \forall x_1,x_2 \in B \quad ||x_1-x_c||_2 \leq r \quad ||x_2-x_c||_2 \leq r ∀x1,x2∈B∣∣x1−xc∣∣2≤r∣∣x2−xc∣∣2≤r
证明其凸组合还在求内
∀ 0 ≤ θ ≤ 1 \forall \; 0 \leq \theta \leq 1 ∀0≤θ≤1
证： ∣ ∣ θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 − x c ∣ ∣ 2 ≤ ? r || \theta x_1+ (1-\theta) x_2 - x_c ||_2 \leq^? r ∣∣θx1+(1−θ)x2−xc∣∣2≤?r
= ∣ ∣ θ ( x 1 − x c ) + ( 1 − θ ) ( x 2 − x c ) ∣ ∣ 2 \;\;=|| \theta (x_1-x_c)+ (1-\theta)( x_2 - x_c) ||_2 =∣∣θ(x1−xc)+(1−θ)(x2−xc)∣∣2
≤ ∣ ∣ θ ( x 1 − x c ) ∣ ∣ + ∣ ∣ ( 1 − θ ) ( x 2 − x c ) ∣ ∣ 2 \;\; \leq || \theta (x_1-x_c)||+ ||(1-\theta)( x_2 - x_c) ||_2 ≤∣∣θ(x1−xc)∣∣+∣∣(1−θ)(x2−xc)∣∣2 \quad\quad 因为： ∣ ∣ a + b ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ a ∣ ∣ + ∣ ∣ b ∣ ∣ ||a+b|| \leq||a||+||b|| ∣∣a+b∣∣≤∣∣a∣∣+∣∣b∣∣
= θ ∣ ∣ ( x 1 − x c ) ∣ ∣ + ( 1 − θ ) ∣ ∣ ( x 2 − x c ) ∣ ∣ 2 \;\; = \theta||(x_1-x_c)||+ (1-\theta)||( x_2 - x_c) ||_2 =θ∣∣(x1−xc)∣∣+(1−θ)∣∣(x2−xc)∣∣2
≤ r \;\; \leq r ≤r
椭球：
ϵ ( x c , P ) = { x ∣ ( x − x c ) T P ( x − x c ) } x c ∈ R n P ∈ S + + n \epsilon(x_c,P)=\lbrace x|(x-x_c)^TP(x-x_c) \rbrace \quad x_c \in R^n\quad P \in S_{++}^n ϵ(xc,P)={x∣(x−xc)TP(x−xc)}xc∈RnP∈S++n S + + n : n ∗ n \quad S_{++}^n:n*n S++n:n∗n维对称正定矩阵
P = r 2 I n P=r^2 I_n P=r2In
取这样的 P P P 椭球就变成了球
椭球是凸集
P P P描述椭球的半轴长，由奇异值决定 { λ i } \lbrace \lambda_i \rbrace {λi}
矩阵A的奇异值Singular Value
e i g eig eig表示特征值
e i g ( A T A ) \sqrt{eig(A^TA)} eig(ATA)表示矩阵A的奇异值
正定矩阵所有奇异值大于0
例:
计算出矩阵的特征值为4和1，开根号后为2和1，对应于半轴长。