2020 杭电多校8 1011 Kidnapper‘s Matching Problem （线性基、kmp）
题意：
给一个 S S S 集合，再给两个数组 a , b a,b a,b ，分别长为 n , m , （ n > = m ） n,m,（n>=m） n,m,（n>=m），将 n n n 中取 n − m + 1 n-m+1 n−m+1 个长度为 m m m 的子串，与 m m m 进行匹配，若对于每一个对应的 a k a_k ak 和 b k b_k bk ，都满足 a k ⊕ b k ∈ 2 ⊕ S a_k⊕b_k∈2^S_⊕ ak⊕bk∈2⊕S 则匹配成功。其中 2 ⊕ S 2^S_⊕ 2⊕S是有所有S子集异或和得到的集合。
a n s = ∑ i = 1 n − m + 1 [ ( a i , a i + 1 , ⋯ , a i + m − 1 ) m a t c h e s b ] ⋅ 2 i − 1 m o d ( 1 0 9 + 7 ) ans=\sum_{i=1}^{n−m+1}[(ai,ai+1,⋯,ai+m−1) matches b]⋅2^{i−1}mod(10^9+7) ans=∑i=1n−m+1[(ai,ai+1,⋯,ai+m−1)matchesb]⋅2i−1mod(109+7)
思路：
参考题解，可以知道，首先求出每一个 S S S 集合的线性基，然后对于 a a a 和 b b b 的元素都消去线性基中的位，得到 a ′ , b ′ a',b' a′,b′ , 若 a i ′ ⊕ b j ′ ∈ 2 ⊕ S a'_i⊕b'_j∈2^S_⊕ ai′⊕bj′∈2⊕S 必然满足 a i ′ = b j ′ a'_i=b'_j ai′=bj′
证明如下：
充分性: x ⊕ y x⊕y x⊕y 必然能写成 x ′ ⊕ y ′ x′⊕y′ x′⊕y′ 再异或上 B B B 中的一些数的形式．在 x ′ = y ′ x′ = y′ x′=y′ 时即 x ⊕ y ∈ 2 S ⊕ x⊕y ∈ 2S ⊕ x⊕y∈2S⊕
必要性: 考虑反证．因为 x ′ , y ′ x′,y′ x′,y′ 都不包含 B B B 中的位, 所以 x ′ ⊕ y ′ x′ ⊕y′ x′⊕y′ 不包含 B B B 中的位．又因为 x ′ ≠ y ′ x′ \neq y′ x′=y′ , 所以 x ′ ⊕ y ′ x′⊕y′ x′⊕y′ 非零, 那么 x ′ ⊕ y ′ x′⊕y′ x′⊕y′ 一定包含 B B B 无法表示的位, 所以 x ⊕ y ∉ 2 S ⊕ x⊕y \notin 2S ⊕ x⊕y∈/2S⊕
接下来就是kmp进行匹配了。
主要还是需要知道想到这个性质，想到之后代码实现还是比较简单的。
代码：
#include
//puts("");
for(int i=1;i<=m;i++) {
for(int j=maxbit-1;j>=0;j--) {
if((b[i]>>j)&1)b[i]^=p1[j];
}
}
//for(int i=1;i<=m;i++) cout<
//puts("");
pd(b,a);
int ans=0;
//for(int i=1;i<=n;i++) cout<
//puts("");
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(jl[i]) {
ans=(ans+p[i-1])%mod;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}