2020 杭电多校8 1011 Kidnapper‘s Matching Problem （线性基、kmp）

题意：

给一个 $S$ 集合，再给两个数组 $a,b$ ，分别长为 $n,m,（n>=m）$，将 $n$ 中取 $n-m+1$ 个长度为 $m$ 的子串，与 $m$ 进行匹配，若对于每一个对应的 $a_k$ 和 $b_k$ ，都满足 $a_k\oplus b_k\in 2_{\oplus }^S$ 则匹配成功。其中$2_{\oplus }^S$是有所有S子集异或和得到的集合。
$ans={\sum }_{i=1}^{n-m+1}[(ai,ai+1,\cdots ,ai+m-1)matchesb]\cdot 2^{i-1}mod(10^9+7)$

思路：

参考题解，可以知道，首先求出每一个 $S$ 集合的线性基，然后对于 $a$ 和 $b$ 的元素都消去线性基中的位，得到 $a^{\prime },b^{\prime }$ , 若 $a_i^{\prime }\oplus b_j^{\prime }\in 2_{\oplus }^S$ 必然满足$a_i^{\prime }=b_j^{\prime }$
证明如下：
充分性: $x\oplus y$ 必然能写成 $x\prime \oplus y\prime$ 再异或上 $B$ 中的一些数的形式．在 $x\prime =y\prime$ 时即 $x\oplus y\in 2S\oplus$
必要性: 考虑反证．因为 $x\prime ,y\prime$ 都不包含 $B$ 中的位, 所以 $x\prime \oplus y\prime$ 不包含 $B$ 中的位．又因为 $x\prime \ne y\prime$ , 所以 $x\prime \oplus y\prime$ 非零, 那么 $x\prime \oplus y\prime$ 一定包含 $B$ 无法表示的位, 所以 $x\oplus y\notin 2S\oplus$
接下来就是kmp进行匹配了。
主要还是需要知道想到这个性质，想到之后代码实现还是比较简单的。

代码：

#include 
#define ll long long
#define PII pair
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=1e6+10;
const int mod=1e9+7;

int T,n,m,k;
int a[N],b[N],s[N];

int nxt[N];//next数组 ，下标从1开始
int jl[N];
void pd(int *t,int *s){//t为去匹配,s为被匹配
	int ans=0;
	int i,j;
	int len1=m,len2=n;
	nxt[0]=nxt[1]=0;
	for(i=2,j=0;i<=len1;i++){
		while(j&&t[j+1]!=t[i])j=nxt[j];
		if(t[j+1]==t[i])++j;
		nxt[i]=j;
	}
	for(i=1,j=0;i<=len2;i++){
		while(j&&t[j+1]!=s[i])j=nxt[j];
		if(t[j+1]==s[i])++j;
		if(j==len1){
			jl[i-len1+1]=1;
			ans++;j=nxt[j];//i为匹配成功的位置,ans为匹配次数
		}
	}
}

int p1[N];
const int maxbit=30;
void built(int *a,int *p,int len){
    for(int i=1;i<=len;i++)
    for(int j=maxbit-1;j>=0;j--){
        if((a[i]>>j)&1){
            if(p[j]==0){p[j]=a[i];break;}
     	    else a[i]^=p[j];
        }
    }
}

int p[N];
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	p[0]=1;
	for(int i=1;i<=2e5;i++) p[i]=(p[i-1]*2ll)%mod;
	while(T--) {
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
		for(int i=0;i<maxbit;i++) p1[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),jl[i]=0;
		for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]);
		for(int i=1;i<=k;i++) scanf("%d",&s[i]);
		built(s,p1,k);
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=maxbit-1;j>=0;j--) {
				if((a[i]>>j)&1)a[i]^=p1[j];
			}
		}
		//for(int i=1;i<=n;i++) cout<
		//puts("");
		for(int i=1;i<=m;i++) {
			for(int j=maxbit-1;j>=0;j--) {
				if((b[i]>>j)&1)b[i]^=p1[j];
			}
		}
		//for(int i=1;i<=m;i++) cout<
		//puts("");
		pd(b,a);
		int ans=0;
		//for(int i=1;i<=n;i++) cout<
		//puts("");
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			if(jl[i]) {
				ans=(ans+p[i-1])%mod;
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	

	return 0;
}