动态规划——01背包问题

这里有我在B站上的讲解，感兴趣的小伙伴可以去看一下
1267：【例9.11】01背包问题

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【题目描述】
一个旅行者有一个最多能装 M 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn,它们的价值分别为C1,C2,…,Cn，求旅行者能获得最大总价值。

【输入】
第一行：两个整数，M(背包容量，M≤200)和N(物品数量，N≤30)；

第2…N+1行：每行二个整数Wi，Ci，表示每个物品的重量和价值。

【输出】
仅一行，一个数，表示最大总价值。

【输入样例】
10 4
2 1
3 3
4 5
7 9
【输出样例】
12

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1 收先我们来了解一下题意
在一个体积为m的背包里，n个物体当中选择物品，使背包中的物品总价值最大。

2。模拟样例
由题意知道，我们要尽可能的.找到总价值最大的选择，
我们可以看出，选择第二个和第四个是最大的，体积和为10满足条件，价值为12 是最大价值。
其他的，比如第一个、第二个、第三个，体积和为9满足条件，总价值为1+3+5=9，小于12
我们可以看出，没有其他的组合的总价值大于12，所以12为我们的最终结果。

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3.分析
我们有一种认识，我们要做的就是找到最优方案，我们要京可能的利用空间，并且尽可能的使放到背包里的总价值最大
有这种认识，但是做的时候却很费解，因为我们不能用for循环枚举所有的可能，那样的话时间复杂度为（N！），是一定会时间超限的

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4.策略
我们思前想后终于想到了一种方法，动态规划
方案，我们每次仅选择前i个物品，且体积不超过j的方案，并求最优解。
下面先附上以这种方法模拟的步骤

经过我们的样例模拟后，我们发现，我们的策略是行的，下面，我们要做的就是写出一般方程

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一般方程：
通过样例模拟我们知道，当到前i个物品的时候，无非就两种情况
1、不选第i个物品，也就是前i-1个物品的最优解，
2、选第i个物品，当选第i个物品的时候，如何的出它的方程呢。
我们这么直接想，很难想到这么抽象的方程，所以我们稍微变换一下思路
既然我们一定选择第i个物品，我们不如先不看第i个物品，将第i个物品所占的体积去掉，剩下的空间交给前i-1个物品中的某一些物品去争去吧。所以不算第i个物品，剩余空间所有的价值为***f[i-1][j-v[i]]***，那么我们在加上第i个物品是不是就是选第i个物品的结果了。
对的，就是这个结果***f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+w[i];***
则我们就很容易的得出了最终的方程式。
即： f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i]
下面是这个方程的图片推导，有兴趣的可以看一下。

好，到了最激动人心的时刻了，代码来喽

源代码

语言: G++     用户名: RookieToFly     题号: 1267

#include 

using namespace std;

const int N = 210;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main(){
	cin >> m >> n;//m表示背包容量，n表示物体个数
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];//读入数据
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ){//表示只选择前i个物体
		for (int j = 1; j <= m; j ++ ) {//表示体积
			f[i][j] = f[i -1][j];
			if (j - v[i] >= 0)//体积要大于等于0
			f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
			//第一个表示不选第i个物品，第二个表示选则第i个物品
		}
	}
	cout << f[n][m] << endl;//表示选择前n个物品，体积为m的最大价值
	
	return 0;
 }

如果大家有什么看不懂的可以回复我，我会为大家解释的
如果大家有什么补充的，也可以回复我。
那个，关于动态规划的优化，优化为一维数组的我会在后面有空的时候给大家附上的；
那就感谢您的观看喽

如果没有看懂的，或者有一些疑惑的可以观看我在B站上的视频，记得点赞哦。
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