博弈论
1. 简单博弈
正推/反推。纸上画画直观图(ven图,条形图等),找必胜区间和必败区间。一般此类问题都有同余的必胜点。
HDU4764/**/
2. Nim游戏
有若干堆石子,每堆石子的数量ai都是有限的,合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动)。
※对于(a1,a2,a3,…an)局面: a1^a2^...^an==0 (^为异或) 为P-position,先手必败/**/
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对N/P状态的理解:N-position (Now,当前状态)现在轮到move的人有必胜策略的局面。
P-position(Previous,上次状态) 上一次move的人有必胜策略的局面。
若A局面的子局面a[i]中存在P,则A为N。
若A局面的子局面a[i]全部为N,则A为P。
递归,子状态推出开始局面(3,3)的N/P。
用DP或者记忆化搜索降低时间复杂度。
*/}
3. SG函数
例1.n堆石子,每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗,可以从第2堆石子里取奇数颗,可以从第3堆及以后石子里取任意颗……
先看例2.一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子,两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动,无法移动者判负。事实上,这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。
/**/
首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。g(x)含义不理解先看SG函数的性质。
SG函数的性质:所有的terminal position所对应的顶点,也就是没有出边的顶点,其SG值为0,因为它的后继集合是空集。
即
对于一个g(x)=0的顶点x,它的所有前驱y都满足 g(y)!=0。
对于一个g(x)!=0的顶点,必定存在一个后继y满足g(y)=0。
顶点x所代表的postion是P-position当且仅当g(x)=0(跟P/N-position的 定义的那三句话是完全对应的)。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值,就可以对每种局面找到必胜策略了。
当g(x)=k时,表明对于任意一个0<=i
设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏,定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum),游戏G的移动规则是:任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是:g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是说,游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
刚才,我为了使问题看上去更容易一些,认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上,而是每个棋子在其对应的有向图上,每次可以任选一个棋子(也就是任选一个有向图)进行移动,这样也不会给结论带来任何变化。
所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games):设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏,定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum),游戏G的移动规则是:任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。
Sprague-Grundy Theorem就是:g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是说,原游戏的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时,只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法,就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆,然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了!(Nim其实就是n个从一堆中拿石子的游戏求SG的变型,总SG=n个sg的异或)。(very important)
解题模型:
1.把原游戏分解成多个独立的子游戏,则原游戏的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
即sg(G)=sg(G1)^sg(G2)^...^sg(Gn)。
2.分别考虑没一个子游戏,计算其SG值。
SG值的计算方法:(重点)
1.可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);
2.可选步数为任意步,SG(x) = x;
3.可选步数为一系列不连续的数,用模板计算。
模板1:打表
//f[]:可以取走的石子个数
//sg[]:0~n的SG函数值
//hash[]:mex{}
int f[N],sg[N],hash[N];
void getSG(int n)
{
int i,j;
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(i=1;i<=n;i++)
{
memset(hash,0,sizeof(hash));
for(j=1;f[j]<=i;j++)
hash[sg[i-f[j]]]=1;
for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出现的最小的非负整数
{
if(hash[j]==0)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
}
例题:
Matrix Game,Again Stone Game,Partitioning Game
模板二:DFS
//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
int s[110],sg[10010],n;
int SG_dfs(int x)
{
int i;
if(sg[x]!=-1)
return sg[x];
bool vis[110];
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(i=0;i=s[i])
{
SG_dfs(x-s[i]);
vis[sg[x-s[i]]]=1;
}
}
int e;
for(i=0;;i++)
if(!vis[i])
{
e=i;
break;
}
return sg[x]=e;
}
一般DFS只在打表解决不了的情况下用,首选打表预处理。
如