power oj 2839: 假装这是签到题 二分

2839: 假装这是签到题

 

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Description

对于线性方程组求是一个十分有趣的而又实用的技能，一般解线性方程组的方法有五种分别为：

第一种 消元法 ,此法 最为简单,直接消掉只剩最后一个未知数,再回代求余下的未知数,但只适用于未知数个数等于方程的个数,且有解的情况.

第二种 克拉姆法则,如果行列式不等于零,则用常数向量替换系数行列式中的每一行再除以系数行列式,就是解；

第三种 逆矩阵法,同样要求系数矩阵可逆,直接建立AX=b与线性方程组的关系,X=A^-1.*b就是解

第四种 增广矩阵法,利用增广矩阵的性质(A,b)通过线性行变换,化为简约形式,确定自由变量,（各行中第一个非零元对应的未知数除外余下的就是自由变量）,对自由变量进行赋值,求出其它未知数,然后写成基础解析的形式,最后写出通解.

这种方法需要先判别:增广矩阵的秩是否等于系数矩阵的秩,相等且小于未知数个数,则无穷多解；等于未知数个数,唯一解.秩不想等,无解.

第五种 计算机编程,随便用个软件,譬如Matlab,输入密令,

问：给你一个等比数列，求前 n项和，对 998424353 取模。

Input

第一行一个整数 T

(T≤105) ，表示有 T

组测试数据 。

对于每组测试数据：

输入三个整数 a,q,n，分别表示数列第一项，公比，前多少项， (|a|≤109,|q|≤109,(q≠0),n≤109) (|a|代表 a的绝对值)。

Output

对于每组测试数据，输出一个整数，表示该等比数列的前 n

项和。

• Sample Input
• Raw

3

2 2 3

3 2 500

-1 2 3

• Sample Output
• Raw

14

728273816

998424346

  此题最大的坑点就是这个mod，一个不小心就发现不了这个mod不是素数，这个可以被43，137，5891整除，如果直接用公式算逆元的话会出问题的，第二组测试样列就可以验证（暴力算出来是不等的），逆元的条件是互素，不满足，因为n为1e9,所以全部暴力也是不可能的，所以我们想到了二分。

我们已n=5或4为例：

     =         =   

   =             =       

推广到n

  =          n为奇数

  =                         n为偶数

所以得到公式：

ll RNG(int q,int n)
{
    if(n==1)return 1;
    if(n%2==0)return RNG(q,n/2)*(1+quick_pow(q,n/2))%mod;
    else return  RNG(q,n/2)*(1+quick_pow(q,n/2))%mod+quick_pow(q,n-1);
}

因为一个快速幂的的复杂度为 log(n)所以整体的的复杂度为  log^2 (n)   问题不大。

  另外：  不知道这个想法偏不偏，但是想到了的话这个题也是简单题，只要发现这个mod不是素数然后想到二分来算就完事。在这题的数据方面，第一组中有一个数据的q=1的时候，用逆元来算的话会错，需要特判一下才能过第一组数据，但是第二组数据就不行啦，我专门写的一个小的数据，让暴力很快就可以跑出答案的数据发现问题，第三组数据是1e9的数据专门卡暴力的，第四组是t=1e5的，不为别的就卡你cin cout2333333。赛前预期：前期会有几个人手速及快用逆元的方法来做，然后wa好多次，后面发现问题想了一会用二分过了，后面就会有人陆陆续续的过，也有人死磕wa十几次怎么都想不到正解，也有人一上来就发现mod有问题，但是想不到正解，本以为在赛场上一共会提交50-100次，然后差不多五个人过题但是..

没想到全场没一个人过，wa了好多次，好多人都没有提交，可能是想不到正解也可能写完了不敢交。

是我太坏了，但是ICPC是残酷的你想得到就可以拿银，想不到就是铁，lwp和zq给我验题的时候都是直接想到了二分过了，所以ACM任重而道远啊。

代码：

#include
#define ll long long
#define qq printf("QAQ\n");
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
const int mod=998424353;
const int inf=0x3f3f3f3f;
ll quick_pow(ll a,int n)
{
    ll ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ans=ans*a%mod;
        n/=2;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
ll RNG(int q,int n)
{
    if(n==1)return 1;
    if(n%2==0)return RNG(q,n/2)*(1+quick_pow(q,n/2))%mod;
    else return  RNG(q,n/2)*(1+quick_pow(q,n/2))%mod+quick_pow(q,n-1);
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll a,n,q;
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&q,&n);
        printf("%lld\n",(a*RNG(q,n)%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}