球的体积公式推导

设球的半径为R，将半径OA n等分，过这些等分点作平面，把半球切割成n层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。

由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径：

于是，第i层“小圆片”的体积：

由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度R/n，底面就是“小圆片”的下底面。

半球的体积：

随着n的增大，1/n越来越小，如n = 1000时，1/n = 1/1000；n = 10000时，1/n = 1/10000，…当n无限变大时，1/n趋向于0，那么可以推出：

所以半径为 R 的球的体积为：