大三面试中的一道概率题

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前言

这是我在上学期面试中遇到的一道概率题，现场没做出来，让面试官快速进入算法题环节了= =
今天突然联想到最近在看的内容，一下子顿悟了，开心
其实这道题是语文题

题面

甲认为一道题是对的，且这道题是对的概率为0.9。乙认为一道题是对，且这道题是对的概率为0.8。求甲乙都认为一道题为对，且这道题确实为对的概率？

Note：答案不等于0.72

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答案

36/37

推导

这个题面的描述比较复杂，很难列出概率公式。

联想到情景：甲、乙各是一个预测器，其正确性分别为0.9和0.8。对于一个未知样例，我们现在想知道甲乙预测结果是正确的概率。
这样一转换，感觉这道题太common了，太有实际意义了。

如果想要确定甲乙预测结果的正确性，首先，甲乙的预测一定是一致的，所以得到以下推导：

所求概率为：

p(正确|一致)=p(正确、一致)p(一致)=p(都正确)p(都正确)+p(都一致)=3637p(正确|一致)=p(正确、一致)p(一致)=p(都正确)p(都正确)+p(都一致)=3637

（mathjax似乎显示有问题）

p(正确|一致)
=(p(正确、一致))/(p(一致))
=(p(都正确))/(p(都正确)+p(都错误))
=36/37

这道题的难点在于理解“甲乙都认为一道题为对，且这道题确实为对”这句话，它指的是“甲乙的判断一致”

下面列出的是题目的等价转换：

甲认为一道题是对的，且这道题是对的概率为0.9
= 甲做对一道题的概率为0.9

甲乙都认为一道题为对，且这道题确实为对的概率
= 甲乙判断一致时，判断正确的概率