图论总结 上

王也州老师是我非常钦佩的一位老师，他的言行举止，治学态度无不深刻影响着我，高山仰止，景行景止，谨以此文献给我的老师。

第一章 图的基本概念

导语

本博客全部参考于UESTC数学学院王也州老师讲义复习而得，如有转载请保留此句！

1.1 图和简单图

     定 义: 一个图G 定义为一个有序对(V, E)，记为G = (V, E)。

     孤立点：不与任何边相关联的点；

     自环：两端点重合的边；

     重边：连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。 重数大于1的边称为重边。

     度数：设v为G的顶点，G 中以v为端点的边的条数(环计算两次)称为点v的度数，简称为点v的度简记为d(v)。

     图同构的几个必要条件：①顶点数相同；②边数相同；③度数相等的顶点个数相同。

     完全图：任意两点均相邻的简单图称为完全图。

     偶图:若一个图的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y，使得每条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中，则这样的图称为具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）。

     完全偶图是指具有二分类(X, Y )的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若 |X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n。

     简单图G 和其补图有同样多的边数

     奇点：度数为奇数的顶点；偶点：度数为偶数的顶点；k正则图: 每个点的度均为k 的简单图。

     图论基本定理：对任意的有m 条边的图G = (V, E )，度数之和等于2倍边数。也称为握手定理

1.2子图与图的运算

     子图，真子图，生成子图，导出子图，边导出子图。

     具有m条边的简单标号图的生成子图的个数为2m。

     图的运算：并图G1∪G2，交图G1∩G2，差图G1-G2，对称差G1△G2

     G1和G2的联图，记为G1∨G2。

     G1和G2的积图，记为G = G1×G2

     G1和G2的合成图，记为G = G1[G2]。

1.3最短路及其算法

     边不重复的途径称为迹；点不重复的迹称为路。

     图G中点u与v称为是连通的，如果u与v间存在通路。否则称u与v不连通。

     偶图判定定理：一个图是偶图当且当它不包含奇圈。

     最短路问题的数学模型：在一个赋权图中的两个指定顶点a和b之间找出一条最短(a, b)路。

Dijkstra算法和Dantzig算法(顶点标号法)

1.4图的代数表示及其特征

     用邻接矩阵或关联矩阵表示图，称为图的代数表示。用矩阵表示图，主要有两个优点：(1) 能够把图输入到计算机中；(2) 可以用代数方法研究图论。

     邻接矩阵是一个对称方阵。简单标定图的邻接矩阵的各行 (列) 元素之和是该行(列)对应的点的度。

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第二章 树

     不含圈的图称为无圈图，连通的无圈图称为树。

     每棵非平凡树至少有两片树叶。

     若对一个点v，离心率等于半径，称v为G的一个中心点。 G的全体中心点构成的集合称为G的中心。

     树T中权值最小的点称为它的一个形心点，全体形心点的集合称为树T的形心。

     最小生成树：在连通赋权图G中，边权之和最小的生成树称为G的最小生成树。

     Kruskal算法：选择边e1使得其权值最小，在剩余边中选择一条边，遵循准则：1）选择边构成的图无圈 2）改边的权值尽可能小。重复步骤2（边的角度）

     Prim算法：连通赋权图G的任意一个顶点u，选择与点u关联的且权值最小的边作为最小生成树的第一条边;在与一条已经选取的边只有一个公共端点的所有边中，选取权值最小的边。重复步骤2。（顶点的角度）

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第三章 图的连通度

     割边：e是图G的割边当且仅当e不在G的任何圈中。（必经之路）

     割点：删去该点，图的连通分支增多。由连通变为不连通。（必经之地）

     对n阶非平凡连通图G，若G存在顶点割，则称G的最小顶点割中的点数为G的连通度；否则称n-1为其连通度。（完全图的连通度为n-1）

     连通度也可描述为“使图不连通或成为平凡图，至少需要删去的点数”。

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第四章 Euler图与Hamilton图

4.1 Euler图及其应用

     经过G的每条边的 (闭) 迹被称为Euler (闭) 迹，存在Euler闭迹的图称为Euler图。

     若G是欧拉图，G的每个点的度是偶数，G的边集能划分为边不重的圈的并。

     连通图G有Euler迹当且仅当G最多有两个奇点。当G有Euler闭迹当且仅当G有零个奇点。

     Fleury算法（走一条边不重复的迹）：

任意选取一个顶点v0，在当前迹余下的边中选择一条与顶点v0相邻的边，除非没有别的边可选择，否则不选割边。

     娱乐一下：利用Fleury算法可以玩手游“一笔画”的前100关。（当简单图没有奇度顶点时，任意选择选择一点出发，最终必定回到该点；当有两个奇度顶点时，一个必为起点，另一个必为终点）

     中国邮递员问题

数学模型：具有非负权的赋权图G中找一条包含每条边 (允许重复) 且边权之和最小的闭途径，称之为最优环游。

1. 若图G是一个欧拉图，则找出G的欧拉回路即可。
2. 对一般图，其解法为：添加重复边以使G成为欧拉图G*，并使添加的重复边的边权之和为最小，再求G*的欧拉回路。

     其中，添加一些重复边得到的欧拉图，则G*具有最小权值的充要条件是：

1. G的每一条边最多被添加一次；
2. 对于G*的每个圈来说，新添加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。

4.2 Hamilton图及其应用

     哈密尔顿图：经过图中每个点仅一次的路或圈称为Hamilton路或Hamilton圈，存在Hamilton圈的图称为Hamilton图，简称H图。

     H图的性质（必要条件）

若G是H图，则对于V的每个非空真子集S，均有ω(G-S)≤|S|。

     H图的判定（充分条件）

Dirac定理：对于n≥3的简单图G，如果G中有最小度>=n/2，那么G是H图。

Ore定理：对于n≥3的简单图G，如果G中的任意两个不相邻顶点u与v，有两点度数之和>=n，那么，G是H图。

设G是n≥3的简单图，若G的闭包是完全图，则G是H图
度序列判定法：根据简单图G的度序列判断，满足条件则G是H图

     H图的充要条件:

G是简单图，u和v是G中不相邻的顶点，且满足d(u)+d(v)≥n， 则G是H图的充要条件是G+uv为H图.

Bondy定理： 一个简单图G是H图当且仅当它的闭包是H图。

     度极大的非Hamilton图

     图G称为度极大非H图，若它的度不弱于其它非H图。

     Chvátal 定理： 若G是n≥3的非H简单图，则G度弱于某个Cm, n图。

     旅行售货员问题

     图论模型：在赋权完全图G中求具有最小权的哈密尔顿圈，这个圈称为最优圈。