欧拉函数（重要性质）

欧拉函数：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

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通式：

 

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

φ(1)=1（和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。

注意：每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

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若n是质数p的k次幂，

  

，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值

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φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，

 

特殊性质：当n为奇数时，

  

, 证明与上述类似。

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若n为质数则

 

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与欧拉定理和费马小定理的关系

对任何两个互质的正整数a, m(m>=2)有

即欧拉定理

当m是质数p时，此式则为：

即费马小定理。

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参考文献：百度百科

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