洛谷3676:小清新数据结构题——题解


https://www.luogu.org/problemnew/show/P3676

在很久很久以前,有一棵n个点的树,每个点有一个点权。

现在有q次操作,每次操作是修改一个点的点权或指定一个点,询问以这个点为根时每棵子树点权和的平方和。

参考:洛谷树剖题解(%%rqy,zzq)

正解是动态点分治,然而:

1.难写,(对于我来说)也不会写。

2.第一个想到的难道不应该是树剖吗……

于是果断采用树剖,简易想法就是维护每个结点的子树权值和\(s\)和权值和的平方\(s^2\)

先思考对于一个每次询问只询问1为根的询问。

我们把修改操作改为对节点\(u\)权值\(+x\),实际上只对\(1-u\)路径上的点的\(s^2\)有影响。

\(i\)\(1-u\)路径上的点,则这部分修改对答案的贡献为:

\(\sum_i(s_i+v)^2-\sum_is_i^2\)

\(=\sum_i(2*s_i*v+v*v)\)

现在考虑换根为\(u\)操作+修改,实际上还是只对\(1-u\)路径上的点的\(s^2\)有影响。

\(ans\)为以1为根的答案,\(a\)数组为以1为根的\(s\)\(b\)数组为以\(u\)为根的\(s\),将\(1-u\)路径上的点按顺序编号为\(1-k\)

不难得出\(a_{i+1}+b_i=a _1=b_k\)

于是答案为:

\(ans-\sum_ia_i^2+\sum_ib_i^2\)

\(=ans-\sum_ia_i^2+\sum_i(a_1-a_{i+1})^2\)

\(=ans+(k-1)*a_1^2-2*a_1*(\sum_ia_i-a_1)\)

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
const int INF=2147483647;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
struct node{
    int to,nxt;
}edge[2*N];
int head[N],cnt,tot,n,q;
int fa[N],dep[N],size[N],son[N],top[N],pos[N],idx[N],val[N];
ll sum[N],sum1[N*4],sum2[N*4],lazy[N*4];
inline void add(int u,int v){
    edge[++cnt].to=v;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
void dfs1(int u){
    size[u]=1;sum[u]=val[u];
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
        int v=edge[i].to;
        if(v==fa[u])continue;
        fa[v]=u;dep[v]=dep[u]+1;
        dfs1(v);
        size[u]+=size[v];sum[u]+=sum[v];
        if(!son[u]||size[v]>size[son[u]])son[u]=v;
    }
    return;
}
void dfs2(int u,int anc){
    pos[u]=++tot;
    idx[tot]=u;
    top[u]=anc;
    if(!son[u])return;
    dfs2(son[u],anc);
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){
        int v=edge[i].to;
        if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
        dfs2(v,v);
    }
    return;
}
inline void qmfy(int a,int l,int r,int x){
    lazy[a]+=x;
    sum2[a]+=x*x*(r-l+1)+2*x*sum1[a];
    sum1[a]+=x*(r-l+1);
}
inline void push(int a,int l,int r){
    if(!lazy[a])return;
    int mid=(l+r)>>1;
    qmfy(a*2,l,mid,lazy[a]);
    qmfy(a*2+1,mid+1,r,lazy[a]);
    lazy[a]=0;
}
inline void upt(int a){
    sum1[a]=sum1[a*2]+sum1[a*2+1];
    sum2[a]=sum2[a*2]+sum2[a*2+1];
}
void build(int a,int l,int r){
    if(l==r){
        sum1[a]=sum[idx[l]];
        sum2[a]=sum1[a]*sum1[a];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(a*2,l,mid);
    build(a*2+1,mid+1,r);
    upt(a);
}
void modify(int a,int l,int r,int l1,int r1,ll v){
    if(r1>1;
    push(a,l,r);
    modify(a*2,l,mid,l1,r1,v);
    modify(a*2+1,mid+1,r,l1,r1,v);
    upt(a);
}
void pathmodify(int u,int v,ll c){
    while(top[u]!=top[v]){
        if(dep[top[u]]dep[v])swap(u,v);
    modify(1,1,n,pos[u],pos[v],c);
    return;
}
ll query(int a,int l,int r,int l1,int r1){
    if(r1r)return 0;
    if(l1<=l&&r<=r1)return sum1[a];
    int mid=(l+r)>>1;
    push(a,l,r);
    return query(a*2,l,mid,l1,r1)+query(a*2+1,mid+1,r,l1,r1);
}
ll pathquery(int u,int v){
    ll res=0;
    while(top[u]!=top[v]){
        if(dep[top[u]]dep[v])swap(u,v);
    return res+query(1,1,n,pos[u],pos[v]);
}
inline ll nodequery(int u){
    ll a=query(1,1,n,pos[1],pos[1]);
    ll ans=sum2[1];
    ll b=pathquery(u,1);
    return ans+(dep[u]-1)*a*a-2*a*(b-a);
}
inline void init(){
    dep[1]=1;dfs1(1);dfs2(1,1);
}
int main(){
    n=read(),q=read();
    for(int i=1;i


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