直角四面体面积公式推导

直角四面体面积公式推导

如图是一个四面体OABC,其中 $OA\perp OB\perp OC$ 。设 $|OA|=x,|OB|=y,|OC|=z,|AB|=a,|BC|=b,|CA|=c$。则面ABC的面积公式为：
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2}$$证明：
先给出海伦公式：$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$$其中p=\frac{a+b+c}{2}$。将其展开，得到
$$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}$$$$=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}$$
又由勾股定理知$a^2=x^2+y^2,b^2=y^2+z^2,c^2=z^2+x^2$。
带入得 $$a^4+b^4+c^4=2(x^4+y^4+z^4)+2(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)$$ $$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2=(x^4+y^4+z^4)+3(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)$$
最终得到$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2}$$
证毕。
后记：这是我在做题过程中闲极无聊得到的公式，虽然经网上查阅已有前人得出，但仍然想记录一下。