图论基础
1图论基础：
这里有几篇英文文章(pdf)，很基础的，大家认真看啊！
1) 图周游
2) 最短路问题
3) 最小生成树
4) 欧拉回路/道路
5) 网络流
等大家把这些内容吃透了，在看下面的内容，就会觉得轻松很多。
下面，我准备不拘泥于形式，先随便讲，再系统化，如何？
2知识点回顾下面是一些图论知识点。大家可以看看自己哪些方面还不熟悉。
因为大部分书都要讲，这里我就不说了。
1.图的概念。
图的定义，图的阶，图的边数，邻接，关联。
有向图，加权图。
简单图，多重图，广义图。平行边，环(loop)。
点度，出度，入度
零图，平凡图，正则图，完全图Kn,竞赛图，二分图
子图，补图
图的同构
2.图的代数表示和计算机表示
邻接矩阵/关联矩阵/邻接表/边列表
3.树
树的几种等价定义
基本关联矩阵,回路矩阵，割集矩阵及其关系。
内向树，外向树
生成树,最小生成树与生成树计数
Huffman树
3.道路与回路
道路，回路，简单道路，圈(cycle)
道路图Pn,圈图Cn
欧拉道路，回路
哈密顿道路，回路
旅行商问题
中国邮路
4.平面图
平面图的定义
欧拉公式d=m-n+2,极大平面图极其性质
简单平面图的性质，m<=3n-6, d<=2n-4
K5,K3,3是非平面图的证明
Kuratowski定理
对偶图,D过程,五色定理
5.图的着色
色数，边色数
色数多项式
6.连通性
割点，割边和块的几个等价性质
断集，断量，边断集，边断量
Menger定理，边连通度的判定和其基于网络流的算法
DFS算法
7.匹配
二分图：最大匹配，完全匹配，最佳匹配,一般图的最大匹配
8.网络流
概念，最小切割-最大流定理
ford-fulkerson算法, Edmonds-Karp算法
最小费用/最大收益流
点容量，流量下界，多源多汇等变形问题
9.最短路
dijkstra算法/bellman-ford算法/floyd-warshall算法*johnson算法
第k最短路，最短路算法的变形
3 INTERNET资源
有两个词典，在：
http://www.utm.edu/cgi-bin/caldwell/tutor/departments/math/graph/glossary
http://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htm#Index
4一些可能比较陌生的内容和它们的算法思想
其中下面的东西可能需要说一下。可能内容难一点，但是我们的目的不是
记住这些算法，而是理解算法思想，打开我们的思路。
1.平面性检测:
预处理：
a.如果G非连通，应检测每一个连通支
b.如果G存在割点v,应把G从v处分离。G可平面当且仅当每一块是可平面的。
c.移去自环(loop)
d.如果v的度为2，且v与v1,v2邻接，删去v,加边(v1,v2)
DMP算法(Demoucron, Malgrange, Pertuiset, 1964) P75
DMP算法不是最好的，但是比较容易理解，所以就说一下。
*片的概念
设H是G的可平面子图，如果在G-H中存在另一个G的平面子图B，且
B和H有2个以上的共同节点，则称B是G中的片，片B与H的公共点称为片B的
附着点。
~
记H为G的子图H的一个平面嵌入。
算法基本思想就是：
先找一个回路C，初始的H<-C
每次取一个片B，试图画在已有的图中。
只有当B的所有附着点都在H的某一个面
f(这样的面的集合叫F(B,H))的边界上，B才能"嵌"在这个面中（自己画一画
就会明白）.如果最后把每个B都画完了，就找到了G的一个平面嵌入，如果B
画不进去，G就不是可平面图。
*算法描述
1.找G的一个回路C
2.i<-1
~
3.G1<-C, G1<-C
4.f<-2
5.EMBEDDABLE<-true
6.while f<>m-2+2 and EMBEDDABLE do
begin
7 找G关于Gi的每一个片B
~
8 对每一个片B，求F(B,Gi)
~
9 若对于某一个B，F(B,Gi)为空，G为非可平面图，结束。
10 if EMBEDDABLE then
begin
~ ~
11 if对于某个B，|F(B,Gi)|=1 then F<-F(B,Gi)
~
else令B是任何一个片，F是集合F(B,Gi)中的任何一个面
12 找一条路径PiB, Pi的两个端点是Gi的结点。
13 Gi+1<-Gi+P
~ ~
14 将Pi画到Gi的面F内，得到Gi+1的平面嵌入Gi+1
15 i<-i+1
16 f<-f+1
17 若f=m-n+2 then G可平面，结束。
end
end
如果G是可平面的，算法在Gm-n+1时结束。
~
算法递推Gi, f记录Gi的面的数目
算法复杂度是O(n^2)
如果没有看懂，可以与我联系。
有一个更好的O(n)算法，很长，是Hopcroft和Tarjan给出的。
文章是：
J. Hopcroft and R. Tarjan. Efficient planarity testing. Journal of the ACM, 21:549--569, 1974.
2.色数多项式
定理:f(G,t)代表用t种颜色给G着色的不同方案总数,则f(G,t)是t的多项式，且：
_ .
记：Gij为加上一条边(vi,vj)得到的图，Gij表示把vi,vj变成一点得到的图。
_ .
f(G,t)=f(Gij,t)+f(Gij,t) (vi,vj不相邻)
证明很简单。用加法原理，第一种为vi,vj顶点不同色,一种是同色。剩下的不用我
说了吧^_^
两种特殊的图
G为完全图：
f(G,t)=t(t-1)(t-2)..(t-n+1)
G为树
f(G,t)=t(t-1)^(n-1)
结论是显然的，自己证明吧。
这个证明的思想可以用来求色数，即：
_ .
X(G)=min{X(Gij),X(Gij)} (vi,vj不相邻)
证明需要得到左边>=右边和左边<=右边即可。
算法终止于完全图。X(Kr)=r
3.逻辑算法
逻辑运算的法则是：
X+Y=Y+X XY=YX
(X+Y)+Z=X+(Y+Z) (XY)Z=X(YZ)
X(Y+Z)=XY+XZ (Y+Z)X=XY+XZ
(吸收律)X+X=X XX=X X+XY=X
有的数用V和^,其中X^Y就是XY,XVY就是X+Y
极小支配集的公式：
n
__
||(Vi + sum(u))
i =1 u与vi相邻
最后展开成积之和的形式，每一项是一个极小支配集。
例如图的邻接矩阵是
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 0 1 1 1 0 0
v2 1 0 0 1 0 0
v3 1 0 0 1 0 0
v4 1 1 1 0 1 1
v5 0 0 0 1 0 0
v6 0 0 0 1 0 0
计算方法是：
(v1+v2+v3+V4)(v2+v1+V4)(v3+v1+v4)(v4+v1+v2+v3+v5+v6)(v5+v4+v6)(v6+v4+v5)
(懒得写v了)
=15+16+4+235+236
极小覆盖集：
n
__ __
||(Vi + ||u)
i=1 u与vi相邻
从G中去掉极小覆盖集，得到极大独立集。
请大家自己证明这两个公式和定律。
5对一些问题的探讨
1.dijkstra算法:局限性，推广和其他算法。
首先，我们来证明dijkstra算法的正确性。
引理1（Lemma 1）正权图中P(i)为v1到vi的最短路，vj属于P(i),则P(j)是v1到
vj的一条最短路。
引理2正权图中任意一条最短路的长度大于其局部路径的长度。
这两个结论是显然的。
假设已经得到从v1到其余各点的最短路P(ik)(k=1,2,3..n)，并且满足：
d[1]=d[i1]<=d[i2]<=..<=d[in]
由引理2知道，若k > l(l>=1),则P(ik)不可能是P(il)的一部分。再由引理1可得
d[il]= min { d[ij] + W[ij,il] }
1<=j < l
这样，逐步确定d[i1],d[i2],d[i3]直到全部。
从证明中大家可能注意到了，只要满足引理1,2,“最短路”的确切定义是无关紧要的。
正如IOI99第二试的第一题《交通信号灯》，“最短路”是权和加上等待时间，
但是因为仍然满足引理1和2，故仍然可以用dijkstra算法。显然，这种dijkstra
算法已经是推广了的。
对于引理2，如果G有负权，dijkstra算法可能失效。这里推荐采用bellman-ford
算法:
a. d[1]:=1 d[i]:=maxint i=2,3,..n
b.for i:=2 to n do
d[i]:=min{ d[i], min{d[j]+w[j,i]} }
j到i有通路
c.若全部d[i]都没有变化，结束，否则转b.
b也叫做松弛操作。由于d[i]在减小且有下界（真实的最短路）,算法必将收敛。
当然，如果有负权回路，就不行了，呵呵。幸亏可以证明，没有负权回路时，
算法最多迭代n-1次。如果在第n次迭代的时候仍有边发生变化，只能说明...
在最坏情况下Ford算法的的时间复杂度是O(mn)
Ford主要取决于松弛操作的次数。这样当负权边少时，可以忽略负权边，用
dijkstra算法得到一个最短路的上界，取代初始化步骤a,可以加快速度。
这里有几篇英文文章(pdf)，很基础的，大家认真看啊！
1) 图周游
2) 最短路问题
3) 最小生成树
4) 欧拉回路/道路
5) 网络流
等大家把这些内容吃透了，在看下面的内容，就会觉得轻松很多。
下面，我准备不拘泥于形式，先随便讲，再系统化，如何？
2知识点回顾下面是一些图论知识点。大家可以看看自己哪些方面还不熟悉。
因为大部分书都要讲，这里我就不说了。
1.图的概念。
图的定义，图的阶，图的边数，邻接，关联。
有向图，加权图。
简单图，多重图，广义图。平行边，环(loop)。
点度，出度，入度
零图，平凡图，正则图，完全图Kn,竞赛图，二分图
子图，补图
图的同构
2.图的代数表示和计算机表示
邻接矩阵/关联矩阵/邻接表/边列表
3.树
树的几种等价定义
基本关联矩阵,回路矩阵，割集矩阵及其关系。
内向树，外向树
生成树,最小生成树与生成树计数
Huffman树
3.道路与回路
道路，回路，简单道路，圈(cycle)
道路图Pn,圈图Cn
欧拉道路，回路
哈密顿道路，回路
旅行商问题
中国邮路
4.平面图
平面图的定义
欧拉公式d=m-n+2,极大平面图极其性质
简单平面图的性质，m<=3n-6, d<=2n-4
K5,K3,3是非平面图的证明
Kuratowski定理
对偶图,D过程,五色定理
5.图的着色
色数，边色数
色数多项式
6.连通性
割点，割边和块的几个等价性质
断集，断量，边断集，边断量
Menger定理，边连通度的判定和其基于网络流的算法
DFS算法
7.匹配
二分图：最大匹配，完全匹配，最佳匹配,一般图的最大匹配
8.网络流
概念，最小切割-最大流定理
ford-fulkerson算法, Edmonds-Karp算法
最小费用/最大收益流
点容量，流量下界，多源多汇等变形问题
9.最短路
dijkstra算法/bellman-ford算法/floyd-warshall算法*johnson算法
第k最短路，最短路算法的变形
3 INTERNET资源
有两个词典，在：
http://www.utm.edu/cgi-bin/caldwell/tutor/departments/math/graph/glossary
http://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htm#Index
4一些可能比较陌生的内容和它们的算法思想
其中下面的东西可能需要说一下。可能内容难一点，但是我们的目的不是
记住这些算法，而是理解算法思想，打开我们的思路。
1.平面性检测:
预处理：
a.如果G非连通，应检测每一个连通支
b.如果G存在割点v,应把G从v处分离。G可平面当且仅当每一块是可平面的。
c.移去自环(loop)
d.如果v的度为2，且v与v1,v2邻接，删去v,加边(v1,v2)
DMP算法(Demoucron, Malgrange, Pertuiset, 1964) P75
DMP算法不是最好的，但是比较容易理解，所以就说一下。
*片的概念
设H是G的可平面子图，如果在G-H中存在另一个G的平面子图B，且
B和H有2个以上的共同节点，则称B是G中的片，片B与H的公共点称为片B的
附着点。
~
记H为G的子图H的一个平面嵌入。
算法基本思想就是：
先找一个回路C，初始的H<-C
每次取一个片B，试图画在已有的图中。
只有当B的所有附着点都在H的某一个面
f(这样的面的集合叫F(B,H))的边界上，B才能"嵌"在这个面中（自己画一画
就会明白）.如果最后把每个B都画完了，就找到了G的一个平面嵌入，如果B
画不进去，G就不是可平面图。
*算法描述
1.找G的一个回路C
2.i<-1
~
3.G1<-C, G1<-C
4.f<-2
5.EMBEDDABLE<-true
6.while f<>m-2+2 and EMBEDDABLE do
begin
7 找G关于Gi的每一个片B
~
8 对每一个片B，求F(B,Gi)
~
9 若对于某一个B，F(B,Gi)为空，G为非可平面图，结束。
10 if EMBEDDABLE then
begin
~ ~
11 if对于某个B，|F(B,Gi)|=1 then F<-F(B,Gi)
~
else令B是任何一个片，F是集合F(B,Gi)中的任何一个面
12 找一条路径PiB, Pi的两个端点是Gi的结点。
13 Gi+1<-Gi+P
~ ~
14 将Pi画到Gi的面F内，得到Gi+1的平面嵌入Gi+1
15 i<-i+1
16 f<-f+1
17 若f=m-n+2 then G可平面，结束。
end
end
如果G是可平面的，算法在Gm-n+1时结束。
~
算法递推Gi, f记录Gi的面的数目
算法复杂度是O(n^2)
如果没有看懂，可以与我联系。
有一个更好的O(n)算法，很长，是Hopcroft和Tarjan给出的。
文章是：
J. Hopcroft and R. Tarjan. Efficient planarity testing. Journal of the ACM, 21:549--569, 1974.
2.色数多项式
定理:f(G,t)代表用t种颜色给G着色的不同方案总数,则f(G,t)是t的多项式，且：
_ .
记：Gij为加上一条边(vi,vj)得到的图，Gij表示把vi,vj变成一点得到的图。
_ .
f(G,t)=f(Gij,t)+f(Gij,t) (vi,vj不相邻)
证明很简单。用加法原理，第一种为vi,vj顶点不同色,一种是同色。剩下的不用我
说了吧^_^
两种特殊的图
G为完全图：
f(G,t)=t(t-1)(t-2)..(t-n+1)
G为树
f(G,t)=t(t-1)^(n-1)
结论是显然的，自己证明吧。
这个证明的思想可以用来求色数，即：
_ .
X(G)=min{X(Gij),X(Gij)} (vi,vj不相邻)
证明需要得到左边>=右边和左边<=右边即可。
算法终止于完全图。X(Kr)=r
3.逻辑算法
逻辑运算的法则是：
X+Y=Y+X XY=YX
(X+Y)+Z=X+(Y+Z) (XY)Z=X(YZ)
X(Y+Z)=XY+XZ (Y+Z)X=XY+XZ
(吸收律)X+X=X XX=X X+XY=X
有的数用V和^,其中X^Y就是XY,XVY就是X+Y
极小支配集的公式：
n
__
||(Vi + sum(u))
i =1 u与vi相邻
最后展开成积之和的形式，每一项是一个极小支配集。
例如图的邻接矩阵是
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 0 1 1 1 0 0
v2 1 0 0 1 0 0
v3 1 0 0 1 0 0
v4 1 1 1 0 1 1
v5 0 0 0 1 0 0
v6 0 0 0 1 0 0
计算方法是：
(v1+v2+v3+V4)(v2+v1+V4)(v3+v1+v4)(v4+v1+v2+v3+v5+v6)(v5+v4+v6)(v6+v4+v5)
(懒得写v了)
=15+16+4+235+236
极小覆盖集：
n
__ __
||(Vi + ||u)
i=1 u与vi相邻
从G中去掉极小覆盖集，得到极大独立集。
请大家自己证明这两个公式和定律。
5对一些问题的探讨
1.dijkstra算法:局限性，推广和其他算法。
首先，我们来证明dijkstra算法的正确性。
引理1（Lemma 1）正权图中P(i)为v1到vi的最短路，vj属于P(i),则P(j)是v1到
vj的一条最短路。
引理2正权图中任意一条最短路的长度大于其局部路径的长度。
这两个结论是显然的。
假设已经得到从v1到其余各点的最短路P(ik)(k=1,2,3..n)，并且满足：
d[1]=d[i1]<=d[i2]<=..<=d[in]
由引理2知道，若k > l(l>=1),则P(ik)不可能是P(il)的一部分。再由引理1可得
d[il]= min { d[ij] + W[ij,il] }
1<=j < l
这样，逐步确定d[i1],d[i2],d[i3]直到全部。
从证明中大家可能注意到了，只要满足引理1,2,“最短路”的确切定义是无关紧要的。
正如IOI99第二试的第一题《交通信号灯》，“最短路”是权和加上等待时间，
但是因为仍然满足引理1和2，故仍然可以用dijkstra算法。显然，这种dijkstra
算法已经是推广了的。
对于引理2，如果G有负权，dijkstra算法可能失效。这里推荐采用bellman-ford
算法:
a. d[1]:=1 d[i]:=maxint i=2,3,..n
b.for i:=2 to n do
d[i]:=min{ d[i], min{d[j]+w[j,i]} }
j到i有通路
c.若全部d[i]都没有变化，结束，否则转b.
b也叫做松弛操作。由于d[i]在减小且有下界（真实的最短路）,算法必将收敛。
当然，如果有负权回路，就不行了，呵呵。幸亏可以证明，没有负权回路时，
算法最多迭代n-1次。如果在第n次迭代的时候仍有边发生变化，只能说明...
在最坏情况下Ford算法的的时间复杂度是O(mn)
Ford主要取决于松弛操作的次数。这样当负权边少时，可以忽略负权边，用
dijkstra算法得到一个最短路的上界，取代初始化步骤a,可以加快速度。
