8月12日自学同济版高数笔记（第一章第一节~第三节）

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数
映射又称为算子。
从非空集$X$到数集$Y$的映射又称为$X$上的泛函，从非空集$X$到它自身的映射又称为$X$上的变换
对$\forall y\in R_f$，规定$g(y)=x$，这$x$满足$f(x)=y$，这个映射$g$称为$f$的逆映射，记作$f^{-1}$，其定义域$D_{f^{-1}}=R_f$，值域$R_{f^{-1}}=X$。只有单射才有逆映射。
复合映射记作$f○g$，即$f○g:X\to Z，(f○g)(x)=f[g(x)]，x\in X$
符号函数$$y=sgnx\{\begin{array}{r}-1x<0\\ 0x=0\\ 1x>0\end{array}$$
狄利克雷Dirichlet函数$$D(x)=\{\begin{array}{r}1x\in Q\\ 0x\in Q^c\end{array}$$

求证：若$f$是定义在$D$上的单调函数，则$f^{-1}$也是$f(D)$上的单调函数
证明：假设$f$在$D$上单增，任取$y_1,y_2\in f(D)$且$y_1<y_2$
对$y_1$，在$D$内存在唯一原像$x_1$使得$f(x_1)=y_1$，于是$f^{-1}(y_1)=x_1$
对$y_2$，在$D$内存在唯一原像$x_2$使得$f(x_2)=y_2$，于是$f^{-1}(y_2)=x_2$
由于$f$在$D$上单增，那么$x_1<x_2$，即$f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$
证毕

直接函数与它的反函数在坐标平面上关于$y=x$对称
双曲正弦$\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
双曲余弦$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
双曲正弦$\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
双曲函数公式：
$\mathrm{sh}(x\pm y)=\mathrm{sh}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{ch}x\mathrm{sh}y$
$\mathrm{ch}(x\pm y)=\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{sh}x\mathrm{sh}y$
${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$
$\mathrm{sh}2x=2\mathrm{sh}x\mathrm{ch}x$
$\mathrm{ch}2x={\mathrm{ch}}^{2}x+{\mathrm{sh}}^{2}x$
反双曲函数：(自行推导)
$y=arshx=ln(x+\sqrt{x^2+1})$
$y=archx=ln(x+\sqrt{x^2-1})$
$y=arthx=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}$

第二节 数列的极限
数列极限的定义

设$\{x_n\}$为一数列，如果存在常数$a$，对于任意给定的正数$\epsilon$（无论它多么小），总存在正整数$N$，使得$n>N$时，不等式
$|x_n-a|<\epsilon$
都成立，那么就称常数$a$是数列$\{x_n\}$的极限，或者称数列$\{x_n\}$收敛于$a$
记作$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$或$x_n\to a(n\to \infty )$

设$|q|<1$，证明等比数列$1,q,q^2,...,q^n,...$的极限是$0$
证明：$\forall \epsilon >0$（设$\epsilon <1$），因为$|x_n-0|=|q{|}^{n-1}$
要使$|x_n-0|<\epsilon$，只要$|q{|}^{n-1}<\epsilon \iff n>1+\frac{ln\epsilon }{ln|q|}$
取$N=[1+\frac{ln\epsilon }{ln|q|}]$，则当$n>N$时，恒有$|q^{n-1}-0|<\epsilon$
即$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^{n-1}=0$

收敛数列的性质
定理1（极限的唯一性）

如果数列$\{x_n\}$收敛，那么它的极限唯一

定理2（收敛数列的有界性）

如果数列$\{x_n\}$收敛，那么数列$\{x_n\}$一定有界$\Rightarrow$如果数列$\{x_n\}$无界，则数列$\{x_n\}$发散

定理3（收敛数列的保号性）

如果$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$且$a>0$（或$a<0$），那么存在正整数$N$，当$n>N$时，都有$x_n>0$（或$x_n<0$）

定理3推论

如果数列$\{x_n\}$从某项起有$x_n\ge 0$（或$x_n\le 0$），且$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，那么$a\ge 0$（或$a\le 0$）

定理4（收敛数列与其子数列间的关系）

如果数列$\{x_n\}$收敛于$a$，则它的任一子数列也收敛，且极限也是$a$

第三节 函数的极限

函数极限的定义1

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义。如果存在常数$A$，对于任意给定规定正数$\epsilon$（无论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式：
$|f(x)-A|<\epsilon$，
那么常数$A$就叫做函数$f(x)当x->x_0$时的极限，记作$\underset{x->x_0}{\lim }f(x)=A$或$f(x)->A$（当$x->x_0$）

证明$\underset{x->x_0}{\lim }x=x_0$
证明：这里$|f(x)-A|=|x-x_0|$，因此$\forall \epsilon >0$，总可取$\delta =\epsilon$，当$0<|x-x_0|<\delta =\epsilon$时，能使不等式$|f(x)-A|=|x-x_0|<\epsilon$
成立
所以$\underset{x->x_0}{\lim }x=x_0$

函数极限的定义2

$\underset{x->\infty }{\lim }f(x)=A\iff \forall \epsilon >0,\exists X>0,$当$|x|>X$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$

证明$\underset{x->\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$
证明：$\forall \epsilon >0$，要证$\exists X>0,$当$|x|>X$时，不等式
$|\frac{1}{x}-0|<\epsilon$
成立。
因这个不等式相当于$|x|>\frac{1}{\epsilon }$
取$X=\frac{1}{\epsilon }$，那么当$|x|>X=\frac{1}{\epsilon }时，不等式|\frac{1}{x}-0|<\epsilon$成立
证毕

函数极限的性质
定理1（函数极限的唯一性）

如果$\underset{x->x_0}{\lim }f(x)$存在，那么这极限唯一

定理2（函数极限的局部有界性）

如果$\underset{x->x_0}{\lim }f(x)=A$，那么存在常数$M>0$和$\delta >0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|\le M$

定理3（函数极限的局部保号性）

如果$\underset{x->x_0}{\lim }f(x)=A$且$A>0$（或$A<0$），那么存在常数$\delta >0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$f(x)>0$（或$f(x)<0$）

定理3’

如果$\underset{x->x_0}{\lim }f(x)=A（A\ne 0）$，那么存在$x_0$的某一去心邻域$\mathring{U}(x_0)$，当$x\in \mathring{U}(x_0)$时，有$|f(x)|>\frac{|A|}{2}$
定理3推论 如果在$x_0$的某去心邻域内$f(x)\ge 0$（或$f(x\le 0)$），而且$$\underset{x->x_0}{\lim }f(x)=A$$，那么$A\ge 0$（或$A\le 0$）

定理4（函数极限与数列极限的关系）

如果极限$\underset{x->x_0}{\lim }f(x)$存在，$\{x_n\}$为函数$f(x)$的定义域内任一收敛于$x_0$的数列，且满足$x_n\ne x_0(n属于N_{+})$，那么对应的函数值数列$\{f(x_n)\}$必收敛，且$\underset{x->\infty }{\lim }f(x_n)=\underset{x->x_0}{\lim }f(x)$

证明：$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{6}$
分析：
适当放大法
$f(x)=\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{x+3}(x\ne 3)$
$for\forall \epsilon >0$，要$|f(x)-\frac{1}{6}|=\frac{1}{6}|\frac{x-3}{x+3}|<\epsilon$
因为$x\to 3$
所以不妨假设$0<|x-3|<1$
即$2<x<4,5<x+3<7$
此时$|f(x)-\frac{1}{6}|<\frac{1}{6}|\frac{x-3}{5}|=\frac{1}{30}|x-3|$
只需$\frac{1}{30}|x-3|<\epsilon$
即$|x-3|<30\epsilon$
即$|x-3|$在$\min (30\epsilon ,1)$之间时，$|f(x)-\frac{1}{6}|<\epsilon$
证：
$for\forall \epsilon >0,\exists \delta =\min (30\epsilon ,1)$
使得当$0<|x-3|<\delta$时，$|f(x)-\frac{1}{6}|<\epsilon$
所以$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{6}$