8月13日自学同济版高数笔记（第一章第4节）

第一章第4节 无穷小与无穷大

定义1（无穷小）

如果函数$f(x)$当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷小

定理1

在自变量的同一变化过程$x\to x_0$（或$x\to \infty$）中，函数$f(x)$具有极限$A$的充要条件是$f(x)=A+\alpha$，其中$\alpha$是无穷小

定义2（无穷大）

设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义（或$|x|$大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数$M$（不论它多么大），总存在正数$\delta$（或正数$X$），只要$x$适合不等式$0<|x-x_0|<\delta$（或$|x|>X$），对应的函数值$f(x)$总满足不等式
$|f(x)|>M$
那么称函数$f(x)$是当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷大

例 证明$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x-1}=\infty$
证明：设$\forall M>0$，要使
$|\frac{1}{x-1}|>M$
只要
$|x-1|<\frac{1}{M}$
所以，取$\delta =\frac{1}{M}$，则只要$x$适合不等式$0<|x-1|<\delta =\frac{1}{M}$，就有
$|\frac{1}{x-1}|>M$
这就证明了$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x-1}=\infty$

一般地说，如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$，那么直线$x=x_0$是函数$y=f(x)$的图形的铅直渐近线

定理2

在自变量的同一变化过程中，如果$f(x)$为无穷大，那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷小；反之，如果$f(x)$为无穷小，且$f(x)\ne 0$，那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷大

证明：
设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$
$\forall \epsilon >0$，根据无穷大的定义，对于$M=\frac{1}{\epsilon },\exists \delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，有
$|f(x)|>M=\frac{1}{\epsilon }$
即
$|\frac{1}{f(x)}|<\epsilon$
所以$\frac{1}{f(x)}$为当$x\underset{x\to x_0}{\lim }$时的无穷小
反之，设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$，且$f(x)\ne 0$
$\forall M>0$，根据无穷小的定义，对于$\epsilon =\frac{1}{M}$，$\exists \delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，有
$|f(x)|<\epsilon =\frac{1}{M}$
由于当$0<|x-x_0|<\delta$时$f(x)\ne 0$，从而
$|\frac{1}{f(x)}|>M$
所以$\frac{1}{f(x)}$为当$x\to x_0$时的无穷大
类似地可证当$x\to \infty$时的情形

课后习题

根据定义证明：$y=\frac{x^2-9}{x+3}$为当$x\to 3$时的无穷小
证：因为$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x+3}=0$，所以$y=\frac{x^2-9}{x+3}$为当$x\to 3$时的无穷小

求下列极限并说明理由：
$(1)\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x+1}{x}$
$(2)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-x^2}{1-x}$
证：
$(1)$因为$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x+1}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }(2+\frac{1}{x})=2+\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}$
$\forall \epsilon >0$，取$X=\frac{1}{\epsilon }$，那么当$|x|>X=\frac{1}{\epsilon }$，不等式$|\frac{1}{x}-0|<\epsilon$成立
所以$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$
所以$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x+1}{x}=2+\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=2$
$(2)$因为$\underset{x\to 0}{\lim }(1-x)=1$
所以$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-x^2}{1-x}=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x)=1+\underset{x\to 0}{\lim }x=1$