算法：一个NP问题的证明（课后习题）

问题描述：

课后习题8.10：利用推广的方法证明NP-完全性。对以下每个问题请通过证明它是本章某个NP-完全问题的推广说明它是NP-完全

的。

（a）子图同构：给定两个作为输入的无向图G和H，判断G是否为H的一个子图（即删除H中的某些顶点或边后，所得的新图最多只

         需再修改某些顶点的名称，即可与G相同），且如果是，返回由V（G）到V（H）相关映射。

（b）最长路径：给定图G和整数g，求G中一条长为g的简单路径。

（c）最大SAT：给定一个CNF公式和整数g，求满足其中至少g个子句的真赋值。

（d）稠密子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最少有b条边。

（e）稀疏子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最多有b条边。

（f ）集合覆盖。（该问题衍生了两个著名的NP-完全问题。）

（g）可靠网络：给定两个nxn的矩阵，一个距离矩阵dij，一个连接需求矩阵rij以及预算b。我们要求一个图G=（{1,2，......，n},E）

         使得：

        （1）其中所有边的总代价不超过b；

        （2）在任意两个不同的顶点i和j之间，存在rij条顶点互不相交的路径。

                （提示：假设所有dij都为1和2，b=n，所有的rij=2。这属于哪个著名的NP-完全问题？）

证明：

（a）令图G 为一个环，环上的顶点数等于图H 的顶点数。那么若G 是H 的同构子图，则说明H 存在Rudrata 回路（经过图中每个顶

         点有且仅有一次的回路）。所以可以判断Rudrata回路事实上是子图同构问题的一个特例。所以子图同构是Rudrata回路的推

         广。

（b）如果令g = V −1，即得到一条Rudrata 路径（经过图中每个顶点有且仅有一次的回路）。所以Rudrata路径可以看做是该问题的

         一个特例。

（c）令 g 为子句的总数，即成SAT问题，所以最大SAT为SAT问题的一个推广。

（d）令b=a(a-1)/2，此时这a 个顶点两两相连，于是即成最大团问题（图中的每个顶点间均有边相连）。

（e）令b = 0，即成最大独立集问题（一个顶点集合中的任意两个顶点间均没有边相连）。

（f） 最小顶点覆盖：每条边所依赖的两个顶点至少有一个在集合中，最小说的是满足前面条件的顶点的集合包含的顶点数最小。

         最小顶点覆盖问题可以看做是将集合覆盖中的集合当做一个点，所以该问题可以看成是最小顶点覆盖问题的推广。

（g）提示中所描述的特例：假设所有dij都为1和2，b=n，所有的rij=2，是一个旅行商问题（TSP）。

         （TSP：给定n个顶点和它们之间两两的距离值，以及预算b，需要确定一条旅行路线，该路线是经过每个顶点一次的环，且总

                       的费用不超过b。）