【Atcoder Grand Contest 043】【AGC043】E - Topology（构造）

传送门

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题解：

首先简单说一下题意，我因为英文不好还理解错了半天。。。

给出 $n$ 个点，其中第 $i$ 个点为 $(i+0.5,0.5)$，同时给出所有 $2^n$ 个点集的合法性，请你构造一条闭合曲线，使得该合法的点集合法，不合法的点集不合法。

一个点集合法当且仅当你能够移动该曲线使得其整体处于 $x$ 轴下方，且移动过程中其不与该点集相交。

好，注意这里的移动，英语原文是 “move”，日语原文是 “連続的に動”。然而实际上你去看一下 Notes 就会明白，这里的移动不是平移（translate），而是类似一个绳圈那样的移动，就是说它在构造的时候可以重叠，在移动的时候可以像绳子一样扭来扭去。。。

这个结论可能在一些诡异的小学奥数里面出现过，我总感觉我有那么点印象，又记不太清楚。

过每个点作一条关于 $x$ 轴的垂线，从绳子的最左端开始，沿绳子指定一个方向行进，穿过第 $i$ 条线上方的时候记录一个 $u_i$，穿过第 $i$ 条线下方的时候记录一个 $d_i$，这样游走得到一个字符串，不断地在字符串中选择两个相邻且相同的字符删掉，如果能清空，则该点集合法，否则非法。

证明很显然，每次抽掉两个相同字符意味着我们可以把绳圈的一部分拉过来，能清空意味能完全分离，否则不能。

于是思路非常显然了，先判断合法性，一个合法点集的所有子集都应该合法，一个非法点集的所有超集都应该非法，特别地，空集必须合法。

然后现在考虑怎么构造，一个显然的思路是对于所有极小非法集合 $S$，构造一个经过$(0,0)$ 的绳圈，使得它在 $S$ 非法，在 $S$ 的所有真子集合法，然后将这样构造出的所有绳圈在 $(0,0)$ 首尾连接。

考虑如下递归构造，当前处于所有点最左侧。

1. 若只有一个点，绕个圈即可，假设顺时针绕，得到字符串 $u_1{d}_1$
2. 否则穿过第一个点的上方，对后面的所有点进行构造，得到字符串 $S$，从第一个点的上方穿回来，
3. 再从第一个点的下方穿过去，按照 $S^{-1}$ 对后面的点集进行游走，再从下方穿回来。
4. 得到字符串为 $u_{1}S{u}_1{d}_1{S}^{-1}{d}_1$

其中 $S^{-1}$ 是 $S$ 将 $u_i$ 变为 $d_i$ ，$d_i$ 变为 $u_i$ 的结果，其实和 reverse 的结果是一样的。

显然，由于没有任何两个字符是相同的，$S$ 非法，考虑证明 $S$ 的任意真子集合法。

证明其实很明显，如果某个 $S$ 可以被清空，那么剩下的所有部分显然可以全部清空。
如果删掉最后一个点，显然满足条件，否则，删掉任何一个点会导致 $S$ 和 $S^{-1}$ 首尾连接，由于互为 $reverse$ 显然可以清空。

长度的限制根据官方题解所说似乎很宽裕，随便写写即可。

具体实现的时候字符串可以只维护一半，详情见代码

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代码：

#include
#define ll long long
#define re register
#define cs const

using std::cerr;
using std::cout;
using pii=std::pair<int,int>;
#define fi first
#define se second

std::string inv(std::string s){
	std::string res="";
	std::reverse(s.begin(),s.end());
	for(char c:s)
		if(isupper(c))res+=c-'A'+'a';
		else res+=c-'a'+'A';
	return res;
}

int n;
std::string A;

void Main(){
	std::cin>>n>>A;
	if(A[0]=='0'){
		puts("Impossible");
		return ;
	}for(int re i=0;i<(1<<n);++i)
		if(A[i]=='1')for(int re j=i;j;j=i&(j-1))
			if(A[j]=='0'){
				puts("Impossible");
				return ;
			}
	std::vector<pii> p({{0,0}});
	for(int re s=0;s<(1<<n);++s)if(A[s]=='0'){
		bool flag=true;
		for(int re t=s&(s-1);t&&flag;t=s&(t-1))
			if(A[t]=='0')flag=false;
		if(!flag)continue;
		std::string q;
		for(int re i=0;i<n;++i)
			if(s&(1<<i)){
				if(q.empty())q+='a'+i;
				else q=(char)('a'+i)+q+(char)('A'+i)+inv(q);
			}
		int nw=0;
		for(char c:q){
			int i,dir;
			if(isupper(c))
				i=c-'A',dir=0;
			else 
				i=c-'a',dir=1;
			for(int j=nw+1;j<=i;++j)
				p.push_back({j,0});
			for(int j=nw-1;j>=i;--j)
				p.push_back({j,0});
			nw=i;
			if(dir){
				p.push_back({i,1});
				p.push_back({i+1,1});
				p.push_back({i+1,0});
				p.push_back({i,0});
			}else {
				p.push_back({i+1,0});
				p.push_back({i+1,1});
				p.push_back({i,1});
				p.push_back({i,0});
			}
		}
		for(int j=nw-1;~j;--j)
			p.push_back({j,0});
	}
	cout<<"Possible\n"<<(p.size()-1)<<"\n";
	for(auto t:p)cout<<t.fi<<" "<<t.se<<"\n";
}

inline void file(){
#ifdef zxyoi
	freopen("E.in","r",stdin);
#endif
}signed main(){file();Main();return 0;}