卡特兰数通项公式（母函数，牛顿展开）

组合意义非常显然，经典的路径问题。这里主要讨论母函数以及牛顿展开的证明。

考虑卡特兰数的递推式，发现这是一个卷积式
令$f(x)$为卡特兰数的生成函数
可以将递推式表示为
$$f(x)=x\ast f(x{)}^2+1$$
解得
$$f(x)=\frac{1\pm \sqrt{1-4x}}{2x}$$
$\pm$号怎么取？
考虑$x=0$的时候，取正号显然不合法（卡特兰数第一项）
故卡特兰数的生成函数为
$$f(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$$
将$\sqrt{1-4x}$用牛顿二项式展开
$$(1-4x{)}^{\frac{1}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{k})(-4x{)}^k$$
考虑把$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{k}\right)$展开
$$\begin{gathered} \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{k}\right)=\frac{(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})...(\frac{3}{2}-k)}{k!} \\ =\frac{(-1{)}^k}{2^k\ast k!}\prod _{i=1}^k(2i-3) \\ \prod _{i=1}^k(2i-3)=(-1)\ast 1\ast 3\ast 5\ast ...\ast (2k-3) \\ =\frac{(-1)\ast (2k-2)!}{2\ast 4\ast 6\ast ...(2k-2)}=\frac{(-1)\ast (2k-2)!}{2^{k-1}\ast (k-1)!} \end{gathered}$$
带入原式，得到（这里忽略了$k=0$的边界）
$$\begin{gathered} 1-\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k-1}(2k-2)!(-4x{)}^k}{2^{2k-1}\ast k!\ast (k-1)!} \\ =\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2\ast (2k-2)!}{k!(k-1)!}{x}^k \\ =\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2}{k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k-2}{k-1}\right)x^k \end{gathered}$$
最后除以$2x$（左移）
得到
$$f(x)=\sum _k\frac{1}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}\right)x^k$$
以上就是卡特兰数的推导过程