Trig Function 2017ACM-ICPC亚洲区（西安赛区）网络赛F题

题意：题目中的 f(cos(x))=cos(n∗x) 可以展开成 cos(x) 的多项式，即 f(x) 可以展开成 x 的多项式，给定 n 和 x 的指数 m，让我们求 xm 的系数模998244353的结果。

思路：做的时候上网查了下将 cos(n∗x) 展开成 cos(x) 的多项式的公式，于是乎查到了这个，叫切比雪夫多项式：

上面的 !! 表示的是双阶乘，双阶乘计算时只乘以与原数本身奇偶性相同的数，如 10!!=10×8×6×4×2 ， 9!!=9×7×5×3×1 。其中规定 0!!=1 。

对于这个公式，
当 n 为偶数 m 为奇数时系数为 0，当 n 为奇数 m 为偶数时系数为 0；
其他情况下，注意乘法逆元的使用，同时分子部分的双阶乘和分母部分的双阶乘可以进行约分。约分时，n 为偶数 k 为 0 时特殊， n 为奇数 k 为 1 时特殊，自己讨论下具体情况就知道啦。

代码：

#include
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#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

const int MOD = 998244353;

int n,m;

LL Pow(LL x,LL n)
{
    LL ret=1;
    LL temp=x;
    while(n!=0)
    {
        if(n&1)
            ret=(ret*temp)%MOD;
        n>>=1;
        temp=(temp*temp)%MOD;
    }
    return ret;
}

LL JC(LL a)
{
    LL ans = 1;
    for(LL i=2; i<=a; i++) ans = (i*ans) %MOD;
    return ans;
}

LL DJC(LL s, LL e)
{
    LL ans = 1;
    for(LL i=e; i>=s; i-=2) ans = (i*ans) %MOD;
    return ans;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2){
        int k;
        if(n%2 == 0){  //n 为偶数的情况
            if(m%2 == 1) printf("0\n");  //m 为奇数
            else{
                k = m/2;
                LL subans1 = (n*Pow(JC(2*k), MOD-2)) %MOD;
                LL subans2;
                if(k == 0){
                    subans2 = (Pow(n, MOD-2)) %MOD;
                }
                else{
                    subans2 = (DJC(n-2*k+2, n+2*k-2)) %MOD;
                }

                LL ans = (subans1*subans2) %MOD;
                if(((n-2*k)/2) %2 !=0) ans = -ans;
                printf("%lld\n", (ans+MOD)%MOD);
            }

        }
        else{  //n 为奇数的情况
            if(m%2 == 0) printf("0\n");  //m 为偶数
            else{
                k = m/2+1;
                LL subans1 = (n*Pow(JC(2*k-1),MOD-2)) %MOD;
                LL subans2;
                if(k == 1){
                    subans2 = 1;
                }
                else{
                    subans2 = (DJC(n+1-2*k+2,n+2*k-3)) %MOD;
                }
                LL ans = (subans1*subans2) %MOD;
                if(((n+1-2*k)/2) %2 !=0) ans = -ans;
                printf("%lld\n", (ans+MOD)%MOD);
            }
        }

    }
    return 0;
}