大数因数分解Pollard_rho 算法详解

大数因数分解Pollard_rho 算法详解

适用范围：给你一个大数n，将它分解它的质因子的乘积的形式。

P.S. 在下面的论述中会使用到Miller_rabin和快速乘法和快速幂，如果有兴趣请看另一篇博文。

不过其实你只需要知道Miller_rabin是判断一个数是否是素数。q_mul是求（a*b）% mod，q_pow是求(a^b) % mod即可。

Miller_rabin素数判断：http://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45458569

大数分解最简单的思想也是试除法，这里就不再展示代码了，就是从2到sqrt(n)，一个一个的试验，直到除到1或者循环完，最后判断一下是否已经除到1了即可。

但是这样的做的复杂度是相当高的。一种很妙的思路是找到一个因子（不一定是质因子），然后再一路分解下去。这就是基于Miller_rabin的大数分解法Pollard_rho大数分解。

Pollard_rho算法的大致流程是 先判断当前数是否是素数（Miller_rabin）了，如果是则直接返回。如果不是素数的话，试图找到当前数的一个因子（可以不是质因子）。然后递归对该因子和约去这个因子的另一个因子进行分解。

那么自然的疑问就是，怎么找到当前数n的一个因子？当然不是一个一个慢慢试验，而是一种神奇的想法。其实这个找因子的过程我理解的不是非常透彻，感觉还是有一点儿试的意味，但不是盲目的枚举，而是一种随机化算法。我们假设要找的因子为p，他是随机取一个x1，由x1构造x2，使得｛p可以整除x1-x2 && x1-x2不能整除n｝则p=gcd（x1-x2，n），结果可能是1也可能不是1。如果不是1就找寻成功了一个因子，返回因子；如果是1就寻找失败，那么我们就要不断调整x2，具体的办法通常是x2=x2*x2+c（c是自己定的）直到出现x2出现了循环==x1了表示x1选取失败重新选取x1重复上述过程。（似乎还存在一个每次找寻范围*2的优化，但是不太懂。。。）

因为x1和x2再调整时最终一定会出现循环，形成一个类似希腊字母rho的形状，故因此得名。

另外通过find函数来分解素数，如果找到了一个素数因子则加入到因子map中，否则如果用Pollard找到一个因子则递归去找素数因子。

上代码：

#include  
#include  
#include   
#include   
#include   
#include 

五一最后一天好烦躁啊，，端午端午你快点儿来！