大数因数分解Pollard_rho 算法详解

大数因数分解Pollard_rho 算法详解


适用范围:给你一个大数n,将它分解它的质因子的乘积的形式。

P.S. 在下面的论述中会使用到Miller_rabin和快速乘法和快速幂,如果有兴趣请看另一篇博文。

不过其实你只需要知道Miller_rabin是判断一个数是否是素数。q_mul是求(a*b)% mod,q_pow是求(a^b) % mod即可。

Miller_rabin素数判断:http://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45458569


大数分解最简单的思想也是试除法,这里就不再展示代码了,就是从2到sqrt(n),一个一个的试验,直到除到1或者循环完,最后判断一下是否已经除到1了即可。


但是这样的做的复杂度是相当高的。一种很妙的思路是找到一个因子(不一定是质因子),然后再一路分解下去。这就是基于Miller_rabin的大数分解法Pollard_rho大数分解。


Pollard_rho算法的大致流程是 先判断当前数是否是素数(Miller_rabin)了,如果是则直接返回。如果不是素数的话,试图找到当前数的一个因子(可以不是质因子)。然后递归对该因子和约去这个因子的另一个因子进行分解。


那么自然的疑问就是,怎么找到当前数n的一个因子?当然不是一个一个慢慢试验,而是一种神奇的想法。其实这个找因子的过程我理解的不是非常透彻,感觉还是有一点儿试的意味,但不是盲目的枚举,而是一种随机化算法。我们假设要找的因子为p,他是随机取一个x1,由x1构造x2,使得{p可以整除x1-x2 && x1-x2不能整除n}则p=gcd(x1-x2,n),结果可能是1也可能不是1。如果不是1就找寻成功了一个因子,返回因子;如果是1就寻找失败,那么我们就要不断调整x2,具体的办法通常是x2=x2*x2+c(c是自己定的)直到出现x2出现了循环==x1了表示x1选取失败重新选取x1重复上述过程。(似乎还存在一个每次找寻范围*2的优化,但是不太懂。。。)


因为x1和x2再调整时最终一定会出现循环,形成一个类似希腊字母rho的形状,故因此得名。




另外通过find函数来分解素数,如果找到了一个素数因子则加入到因子map中,否则如果用Pollard找到一个因子则递归去找素数因子。


上代码:

#include  
#include  
#include   
#include   
#include   
#include   
using namespace std;

const int times = 50;
int number = 0;

mapm;
long long Random( long long n )
{
	return ((double)rand( ) / RAND_MAX*n + 0.5);
}

long long q_mul( long long a, long long b, long long mod ) //快速乘法取模
{
	long long ans = 0;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
		{
			ans += a;
		}
		b /= 2;
		a = (a + a) % mod;

	}
	return ans;
}

long long q_pow( long long a, long long b, long long mod ) //快速乘法下的快速幂,叼
{
	long long ans = 1;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
		{
			ans = q_mul( ans, a, mod );
		}
		b /= 2;
		a = q_mul( a, a, mod );
	}
	return ans;
}

bool witness( long long a, long long n )//miller_rabin算法的精华
{
	long long tem = n - 1;
	int j = 0;
	while(tem % 2 == 0)
	{
		tem /= 2;
		j++;
	}
	
	long long x = q_pow( a, tem, n ); //得到a^(n-1) mod n
	if(x == 1 || x == n - 1) return true;
	while(j--)
	{
		x = q_mul( x, x, n );
		if(x = n - 1) return true;
	}
	return false;
}

bool miller_rabin( long long n )  //检验n是否是素数
{

	if(n == 2)
		return true;
	if(n < 2 || n % 2 == 0)
		return false;

	for(int i = 1; i <= times; i++)  //做times次随机检验
	{
		long long a = Random( n - 2 ) + 1; //得到随机检验算子 a
		if(!witness( a, n ))  //用a检验n是否是素数
			return false;
	}
	return true;
}

long long gcd( long long a, long long b )
{
	if(b == 0)
		return a;
	return gcd( b, a%b );
}

long long pollard_rho( long long n, long long c )//找到n的一个因子
{
	long long x, y, d, i = 1, k = 2;
	x = Random( n - 1 ) + 1;
	y = x;
	while(1)
	{
		i++;
		x = (q_mul( x, x, n ) + c) % n;
		d = gcd( y - x, n );
		if(1= n)
		p = pollard_rho( p, c-- );
	find( p, c );
	find( n / p, c );
}

int main( )
{
	long long tar;
	while(cin >> tar)
	{
		number = 0;
		m.clear();
		find( tar, 2137342 );
		printf( "%lld = ", tar );
		if(m.empty())
		{
			printf( "%lld\n", tar );
		}
		for(map::iterator c = m.begin(); c != m.end();)
		{
			printf( "%lld^%d", c->first, c->second );
			if((++c) != m.end())
				printf( " * " );
		}
		printf( "\n" );
	}
	return 0;
}

五一最后一天好烦躁啊,,端午端午你快点儿来!



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