KMP 和 AC 自动机（坑）

KMP 和 AC 自动机（xyy版本）

xyynb!

KMP这里，字符串从1开始计数！

KMP

众所周知，KMP是一种单串匹配算法，把朴素算法的O(|S|*|T|)优化到了O(|S|+|T|)。

如上图，在进行朴素算法时，如果我们已经进行了一些匹配成功，实际上我们就知道了原串的一些信息，理论上就可以使用这个信息来加速匹配，跳过一些绝对不可能匹配成功的情况。
所以，该怎么做呢？这就是KMP很迷的地方之一，也是我一直看不懂KMP的一个点。

border：最长相等前后缀

为此，xyy提到了border的概念。border即是某个字符串的最长相等前后缀（不包含自己）。
有了这个定义，再结合上面的图，就可以看到，如果在某个字符失配了，说明这个字符前的模式串T和字符串S是相等的，由于border的存在，可以直接跳过一些字符串，直接跳到失配字符前的模式串T的border，比较border之后的字符。
一定没有错过什么能够正确匹配的情况吗？是的，反证可以证明，要是存在，那border就不是最长了。
也就是说，KMP分为两个步骤，求T中每个字符前的子串对应的border长度，然后匹配。一般把前者（每个字符前的子串对应的border的长度）定义为fail[]数组，或者xyy的π()函数。

求fail[]数组

在T也很长的时候，暴力求解fail[]数组也是不可取的。

这种情况下，可以看出：

由于π(3)=1，可得T[1...1]==T[3...3]
又由于T[2]==T[4]，T[1...2]==T[3...4]
所以π(4)=2=π(3)+1。

综上，若T[i+1]==T[π(i)+1]，则π(i+1)=π(i)+1。

那如果T[i+1]≠T[π(i)+1]呢？

有一个神奇的性质，border的border仍然是原串的border。

由于abacaba是原串的border，则黄串+c+绿串==蓝串+c+红串。
由于aba是abacaba的border，则黄串==绿串，蓝串==红串。
所以，黄串==绿串==蓝串==红串。

因此，我们可以用递归的方法，如果T[i+1]≠T[π(i)+1]，则检查T[i+1]==T[π(π(i))+1]，以此类推，直至出现相等。如果真的很惨，一个border，那么应该递归到π(i)=0，这时，T[i+1]==0。

综上，求fail[]数组的代码为：

void getFail()
{
	for (int i = 1; i < pl; i++)
	{
		int j = i-1;
		while (j > 0 && p[fail[j]+1] != p[i]) j = fail[j];
		fail[i] = j ? fail[j] + 1 : 0;
	}
	return;
}

匹配的过程

AC 自动机