ACM算法_背包小结

ACM算法_背包小结

01背包，完全背包，多重背包
模板
背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包，在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西

• 01背包

  01背包的基本模型就是有N件物品和一个容量为W的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的占重是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
      特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
      动态转移方程：
      - dp[i][j]表示前i件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值。
      - dp[i-1][j]表示前i-1件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值。也就是，当前遍历到的物品不加入背包。
      - dp[i-1][j-w[i]]+v[i]表示前i-1件物品恰放入一个容量为（j-当前遍历到的物品重量）的背包可以获得的最大价值。也就是将当前遍历到的物品加入背包。至于把谁挤下去，在便利的过程中已经实现。
      dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])
  

代码实现

    直接用二维数组dp[maxn][maxm];

关键代码

for(int i=1;i<=n;++i){//遍历物品
    for(int j=w[i];j<=W;++j){//遍历背包容量(因为动态转移方程里有对j-w[i]的访问，所以j从w[i]开始）
        dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
    }
}

    优化策略：由上可知，二维数组并不会交叉重复访问，因此可将二位数组优化为一维数组，将每次访问时变量的值当作i-1项的值,第二层遍历背包时，采用逆序，可保证，更新第i层的dp[j]前，dp[j]和dp[j-w[i]]储存的是第i-1层的值。

关键代码

for(int i=1;i<=n;++i){//遍历物品
    for(int j=W;j>=w[i];--j){//遍历背包容量(因为动态转移方程里有对j-w[i]的访问，所以j从w[i]开始）
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
}

• 完全背包

  完全背包的基本模型就是有N种物品和一个容量为W的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的占重是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
      动态转移方程：
      dp[i][j]=max(dp[i][j],f[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i])
      与01背包略有不同，完全背包是与当前背包状态比较的
  

代码实现

    直接用二维数组dp[maxn][maxm];

关键代码

for(i=1;i<=N;i++){
    for(j=0;j<=W;j++){
        for(k=0;k*w[i]<=j;k++)  
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
    }
}

    优化策略：由01背包可将二位数组优化为一维数组可知，完全背包也能做类似优化，但由于比较的状态是当前状态，因此第二层遍历需顺序遍历

关键代码

for(i=1;i<=n;i++){
    for(j=need[i];j<=m;j++){
        if(j>=need[i])
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-need[i]]+value[i]);
    }
} 

• 多重背包

  多重背包的基本模型就是有N种物品和一个容量为W的背包。第i种物品最多有num[i]件可用，每件占重是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
  把物品拆开，把相同的num[i]件物品 看成 价值跟重量相同的num[i]件不同的物品，那么就转化成了一个规模稍微大一点的01背包了
      动态转移方程：
      dp[i][j] = max (dp[i-1][j],dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) 
      还有其他效率更高的方法，能力有限，还不会-_-!!!
  

代码实现

关键代码

for(int i=1; i<=n; i++)//每种物品
    for(int k=0; k//其实就是把这类物品展开，调用num[i]次01背包代码
        for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//正常的01背包代码
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);