SNA(社会网络分析)——三种中心度总结

一 简介
社会网络分析中，中心度表示点的中心度，中心势表示整个网络的中心度（趋势）。中心度常用的有三种，点度中心度、中间中心度和接近中心度。

二 三种中心度
点度中心度表示与该点直接相连的点的个数，无向图为（n-1），有向图为（入度，出度）。分为绝对和相对。

点度中心势表示网络图的整体中心性。体现整体网的集中程度。星形网络图核心点点度中心度为n-1，其余点为1，中心势为1；完备图每个点中心度都是n-1，中心势为0。

中间中心度表示该点的“中间人”程度，即媒介程度。分为相对和绝对。计算方法为其他任何两点的测地线，以及过该点的测地线数目之比。（测地线表示两点之间的最短距离）

中间中心势表示整个网的中间性。星形网的中间中心势为1，环形网的中间中心势为0。星形网核心点可以控制其他所有点的交往，中间中心度最大。而其余点在网的边缘，无法控制其他点的交往，故中间中心度为0。

接近中心度表示一种对不受他人控制的测度。通俗讲就是一个点和所有其他点的接近性程度。分为绝对和相对。计算方法是该点与其他所有点的测地线距离之和。（绝对）

接近中心势表示整体网的接近集中趋势。同点度中心势类似，星形网接近中心势为1，环形和完备图接近中心势为0。

三 计算公式汇总
度数中心性 中间中心性 接近中心性
绝对点度中心度
相对点度中心度（标准化）
图的中心势
注：以上公式都是针对无向图，如果是有向图则根据定义相应修改公式即可

四 算法实现
这几个中心度的计算中，点度中心度最为简单，就是邻接矩阵的行和列代表出度和入度，然后对每个元素进行计算即可。比较难的是中间中心度和接近中心度，因为涉及测地线的计算。我稍微找了一下网上关于这方面的算法，没有找到，所以就自己想了一下，觉得想出解决方法了。首先我们要知道一个知识点，就是“矩阵之积”在SNA中的含义。

   在SNA中，矩阵的乘法是非常重要的。它可以用来研究图中“途径”的个数。简单来说，邻接矩阵一次方（即邻接矩阵本身）表示一个行动者到另一个行动者之间存在多少条距离为1的途径；同理，邻接矩阵的平方表示。。到。。存在多少条距离为2的途径，以此类推。那么，当一个矩阵的某一个行动者到另一个行动者的途径，第一次由0突变为非0时，就是这两个行动者的“距离”（最短距离，即测地线）的产生！

   那么我们就可以先实现接近中心度的算法：简单描述为计算邻接矩阵的乘积（对角线初始为0，因为一个点到它本身不存在一条距离为1的途径），记录下每次乘后的矩阵以及乘前的矩阵，进行每个元素的比较，如果由0->非0，则在测地线长度矩阵中保存对应位置的值为邻接矩阵的次数，如二次方就记为2，三次方就记为3，表示该位置的两个点的测地线长度为2或3。同时，还要在测地线条数矩阵中保存测地线的条数（求中间中心度需要用到）。直到测地线矩阵中所有的值都求出后停止矩阵相乘。

   利用测地线长度矩阵，我们可以求出绝对接近中心度，即矩阵每一行进行求和，相对中心度和中心势按公式也好求。

   那么如何求中间中心性？这个算法的主要问题就是如何求每条测地线途经的点！我们又没必要使用最短路径算法来计算这样一个有规律的图，而且最短路径算法计算量大，最重要的是这个算法最终给出的是一条路径，如果测地线有多条，那就无法解决这个问题。

   那么问题如何解决？我们可以使用测地线条数矩阵和邻接矩阵来实现！描述如下：遍历测地线条数矩阵，对于每一个点首先可以得到中心度的分母，即测地线的条数。然后以测地线的长度为循环次数，对邻接矩阵进行以下操作：从起点开始，列出为相邻的节点，并保存到向量中，此为一次循环，接下来以相邻节点为起点，继续列出相邻节点，存入向量中，此为二次循环，直到循环结束。循环过程中，如果回到循环的点，则不存入向量，起点本身也排除。这样本质就是列出了所有途径的树。至于这个树怎么实现，我自己想了一个，到时候再发个帖子。感兴趣的朋友可以关注一下。

   这样我们根据树的层数判断距离然后从终点反推到起点，得到路径判断是否经过判断节点即可。统计经过判断节点的数量，就是中间中心度的分子。这样三个中间性指标都可以求出。

   以上是自己今天学习的一些总结和想法，供各位参考。如有错误，请指正！谢谢。