一步一步理解欧拉公式

这篇文章 不保证你看了后一定会明白 欧拉公式，那么多数学专业的人深入浅出讲得比我好多了。但提供一种 从不明白到明白经过的一些步骤。如果你按这些步骤一步一步去做，先搞清什么，再搞清什么（可以从别的文章/知乎去弄明白），可能 最后就能看懂这个宇宙耍帅第一公式了 :)
本文不从泰勒展开角度来说明。

当x =  时：

一：搞清sin/cos的意义 （可不只是三角形对边/斜边 邻边/斜边哦，要从单位圆旋转的角度来理解）
二：搞清弧度/角度的区别  ----这是为了理解，为什么会出现在这个公式里，为什么指数中的值是而不是其他值
三：搞清e的特性 e的由来 同时对数 也绕不过的得配套弄明白  ----这是为了让你理解 ，为什么e会出现在这个公式里
四：了解指数函数  ----理解复指数的基础
五：搞清 复数的意义  ----进而理解复指数

下面分别补充一点信息吧
一：三角形sin/cos的意义 : 对边/斜边, 邻边/斜边  为什么不够? 几年前我是从自问自答这个问题开始的：钝角三角形的钝角 的sin值是哪条边 比 哪条边？  如果你得到的答案是其补角的sin，这只能说是机械记忆，还没理解透彻。

二：关键是要搞清：一度是一份，一个圆并不是只能分成360份，它还可以被分成362份。（只是大家约定俗成分成360份）这样每一度的大小是不固定的，依赖于我们把圆分成多少份。 而弧度的大小，就去除了这种量纲的影响，1弧度与数轴上的1的长度/大小相同，这样一个角有多大，就可以用数轴上的数（值为这个角的弧度）来表明了。用度数，做不到。欧拉公式如果不使用弧度来表示，则公式中，某个右上角， 会有一个小圆圈!  而只有用弧度，才能像现在这样简洁。

 

三：这个要说的就太多了。 先去搜那些讲得很好的文章/帖子吧。这里摘一点对我来说精华的句子：（感谢那么多前辈的分享）
"指数得到数量，对数得到时间。表示输入时间得到数量 ln(x)表示 输入数量 计算达到么多数量所需要的时间"

"如何理解对数? 一个直观的解释是：对数指的是达到某一数量 所需要的时间"
" = 增长 = ^增长数率*时间 = "  rate一般是小于等于1的，但time可以大于1
"任何一个数字，都可以 在某个时间 通过某个增长率来达到！ 比如以的速度增长 9 =   这里面的ln9就是达到9这个数字的时间"
"也是这样，而且比球面更厉害  无论如何降维， 总是老样子，一点都没变，就好像你切掉孙悟空的一部分，你以为是一小片肉，睁眼一看，居然是另一个孙悟空，而且一样大！这种自相似或全息性太匪夷所思、太好玩儿了！"

 

四：略

五：同样 先去搜那些讲得很好的文章/帖子吧。这里摘一点对我来说精华的句子：（感谢那么多前辈的分享）
"如果数 1 表示向右移动 1 米的话，那么数 -1 就可以表示向左移动 1 米，数 i 可以表示向前移动 1 米，数 -i 可以表示向后移动 1 米，-1+i 可以表示向左前方移动 根号2 米。可见，虚数可以非常方便地描述二元事物"
"将实数a乘以i， 相当于将0 a 这个向量逆时针旋转90度, 所以乘以两个i就是旋转180度， 也就是变成了-a，所以i的平方等于-1"

将一个实数 加i 表示向实数轴垂直的方向 也就是虚数轴方向 前进1单位， 加2i表示前进两个单位。乘以i呢， 逆时针旋转90度; 乘i再乘i呢，逆时针旋转180度；i的3次方呢？ 逆时针旋转270度；i的更多次方呢? 圆周旋转开始了。。 欧拉的远距离背影看到了吗?   ---这句话可是我原创的 哈哈

举个栗子：
= 次方 就是这个图上的A点 1就是角theta的弧度值  就是 90度角即角   就是180度角即角
是不是能看到大神背影的轮廓了?

复指数： " f(z)=这个函数是可以定义在整个复数域上的，通过f(z)=f(x+iy)== 来定义，后面这个也叫欧拉公式。"

这个实数  我们取1， 也就是欧拉公式中的1. 1是这个单位圆的半径，是被旋转的数。旋转多少呢？旋转（无单位，弧度数值就是旋转的量），也就是半圆了。现在1有了，旋转需要的i有了，为什么指数中是也来了。关键就差e了

虽然我之前知道了e的特性，但在很长一段时间内我都不明白，欧拉公式中的e为什么一定是e，换成 2 3 5就不行?  仍然是知乎这条跟小学解释欧拉公式的回答启发了我：  https://www.zhihu.com/question/41134540?from=profile_question_card

借酒老师的图：

旋转，稍变通置换想一下， 也就是一种向某个方向的增长。既然是增长，就有增长的速度了。如果按全速 （单位时间增长率100%）增长/旋转 /跑路到的结果，就到了起始点半圆的另一端，1的对面-1.

所以（再借一下图），桔色的线是以e为底 旋转的结果。如果底数换成2，可能的结果是浅蓝色的线；加和的结果>0;
如果底数换成3，可能的结果是深蓝色的线，加和的结果<0。只有以e的速度 增长，才会刚刚好落在-1点，加和结果为0! （请注意这张图可能是错的，原因见后面）

说完了，原来不明白的你，现在明白了吗？ 没明白， 很好，我以前跟你一样。 没事，再多搜搜 想想，不行再晾晾再回来， 会明白的。念念不忘，可能有回响，哈哈
最近总算搞清了这个，比较开心。分享这个过程。 人一但明白了某些东西，就回不到不明白的时候。。。生活学习通用。。呵呵
"穿干净的衣 睡舒服的床 读有益的书  爱值得的人 "是我很喜欢的一句话，读来/想来都觉得温暖，分享给喜欢探索未知的你。嘿嘿

 

 

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190828补充：

最近小组分享欧拉公式，其他不熟悉欧拉公式的同学，最大的疑问是：为什么 可以代表旋转。他们可以理解 +i 以及 *i 能代表旋转；且 2 * 2 * 2 * 2 =  ok没问题，但  为什么能代表旋转？看起来是i个e相乘 ?  不能用欧拉公式来证明，这样就是循环证明了。（ 是沿圆周运动ln2弧度，但这已经是运用了欧拉公式的结论）

好问题，我从来没这样想过...

有两篇文章，可能可以解答：

https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/85095765   欧拉公式，复数域的成人礼

https://wenku.baidu.com/view/47451ebcb84ae45c3a358c23.html   复指数函数的定义问题 铜仁学院 孙小康徐松金

 

第一篇文章里：分别用极限/泰勒展开/导数的方式 来说明了。
用权限来理解  我觉得也比较好理解了，只要你愿意把x用替换，已经从普通的幂 联系到了复数乘法:

n=3时：

用导数的方式来看，如果底数换成2或3  不能很好地代表旋转，甚至不能代表旋转，因为运动的速度 不像以e为底时，是垂直于的。 上面最后一张图 深蓝和浅蓝色的线 基本上也是错的，因为运动的速度和方向不是想象中那么好，可能在五度以内就跑到不知道什么方向去了，都不一定能到第二象限。。此图仅供初步理解想象
只有  才能代表圆周运动。

第二篇文章 从解析函数 柯西黎曼条件的角度说明了 为什么复指数能与三角函数来。且文章的最后提到：欧拉公式 左边的e 只是一个符号，并不特性2.718..那个无理数。 也就是说 貌似可以写成这样 ？

但是当x =  时：这个e肯定不能是其他值的。