一步一步理解欧拉公式

这篇文章 不保证你看了后一定会明白 欧拉公式,那么多数学专业的人深入浅出讲得比我好多了。但提供一种 从不明白到明白经过的一些步骤。如果你按这些步骤一步一步去做,先搞清什么,再搞清什么(可以从别的文章/知乎去弄明白),可能 最后就能看懂这个宇宙耍帅第一公式了 :)
本文不从泰勒展开角度来说明。

e^{ix} = cosx + isinx

当x = \pi 时:

e^{i\pi } +1 = 0


一:搞清sin/cos的意义 (可不只是三角形对边/斜边 邻边/斜边哦,要从单位圆旋转的角度来理解)
二:搞清弧度/角度的区别  ----这是为了理解,为什么\pi会出现在这个公式里,为什么指数中的值是\pi而不是其他值
三:搞清e的特性 e的由来 同时对数 也绕不过的得配套弄明白  ----这是为了让你理解 ,为什么e会出现在这个公式里
四:了解指数函数  ----理解复指数的基础
五:搞清 复数的意义  ----进而理解复指数


下面分别补充一点信息吧
一:三角形sin/cos的意义 : 对边/斜边, 邻边/斜边  为什么不够? 几年前我是从自问自答这个问题开始的:钝角三角形的钝角 的sin值是哪条边 比 哪条边?  如果你得到的答案是其补角的sin,这只能说是机械记忆,还没理解透彻。


二:关键是要搞清:一度是一份,一个圆并不是只能分成360份,它还可以被分成362份。(只是大家约定俗成分成360份)这样每一度的大小是不固定的,依赖于我们把圆分成多少份。 而弧度的大小,就去除了这种量纲的影响,1弧度与数轴上的1的长度/大小相同,这样一个角有多大,就可以用数轴上的数(值为这个角的弧度)来表明了。用度数,做不到。欧拉公式如果不使用弧度来表示,则公式中,某个右上角, 会有一个小圆圈!  而只有用弧度,才能像现在这样简洁。

 

三:这个要说的就太多了。 先去搜那些讲得很好的文章/帖子吧。这里摘一点对我来说精华的句子:(感谢那么多前辈的分享)
"指数得到数量,对数得到时间。e^{x}表示输入时间得到数量 ln(x)表示 输入数量 计算达到么多数量所需要的时间"

"如何理解对数? 一个直观的解释是:对数指的是达到某一数量 所需要的时间"
"e^{x} = 增长 = e^{增长数率*时间}^增长数率*时间 = e^{rate*time}"  rate一般是小于等于1的,但time可以大于1
"任何一个数字,都可以 在某个时间 通过某个增长率来达到! 比如以e^{1}的速度增长 9 = e^{ln9}  这里面的ln9就是达到9这个数字的时间"
"e^{x}也是这样,而且比球面更厉害  无论如何降维, e^{x}总是老样子,一点都没变,就好像你切掉孙悟空的一部分,你以为是一小片肉,睁眼一看,居然是另一个孙悟空,而且一样大!这种自相似或全息性太匪夷所思、太好玩儿了!"

 

四:略

五:同样 先去搜那些讲得很好的文章/帖子吧。这里摘一点对我来说精华的句子:(感谢那么多前辈的分享)
"如果数 1 表示向右移动 1 米的话,那么数 -1 就可以表示向左移动 1 米,数 i 可以表示向前移动 1 米,数 -i 可以表示向后移动 1 米,-1+i 可以表示向左前方移动 根号2 米。可见,虚数可以非常方便地描述二元事物"
"将实数a乘以i, 相当于将0 a 这个向量逆时针旋转90度, 所以乘以两个i就是旋转180度, 也就是变成了-a,所以i的平方等于-1"

将一个实数 加i 表示向实数轴垂直的方向 也就是虚数轴方向 前进1单位, 加2i表示前进两个单位。乘以i呢, 逆时针旋转90度; 乘i再乘i呢,逆时针旋转180度;i的3次方呢? 逆时针旋转270度;i的更多次方呢? 圆周旋转开始了。。 欧拉的远距离背影看到了吗?   ---这句话可是我原创的 哈哈

举个栗子:
e^{i}= e^{i1}次方 就是这个图上的A点 1就是角theta的弧度值  e^{i\pi/2}就是 90度角即\pi /2角   e^{i\pi }就是180度角即\pi
是不是能看到大神背影的轮廓了?

一步一步理解欧拉公式_第1张图片

复指数: " f(z)=e^{z}这个函数是可以定义在整个复数域上的,通过f(z)=f(x+iy)=e^{x+iy}= e^{x*(cosy+isiny)}来定义,后面这个也叫欧拉公式。"


这个实数  我们取1, 也就是欧拉公式中的1. 1是这个单位圆的半径,是被旋转的数。旋转多少呢?旋转\pi(无单位,弧度数值就是旋转的量),也就是半圆了。现在1有了,旋转需要的i有了,为什么指数中是\pi也来了。关键就差e了

虽然我之前知道了e的特性,但在很长一段时间内我都不明白,欧拉公式中的e为什么一定是e,换成 2 3 5就不行?  仍然是知乎这条跟小学解释欧拉公式的回答启发了我:  https://www.zhihu.com/question/41134540?from=profile_question_card

借酒老师的图:一步一步理解欧拉公式_第2张图片

旋转,稍变通置换想一下, 也就是一种向某个方向的增长。既然是增长,就有增长的速度了。如果按全速 (单位时间增长率100%)增长/旋转 /跑路到\pi的结果,就到了起始点半圆的另一端,1的对面-1.

所以(再借一下图),桔色的线是以e为底 旋转的结果。如果底数换成2,可能的结果是浅蓝色的线;加和的结果>0;
如果底数换成3,可能的结果是深蓝色的线,加和的结果<0。只有以e的速度 增长,才会刚刚好落在-1点,加和结果为0! (请注意这张图可能是错的,原因见后面)

一步一步理解欧拉公式_第3张图片

说完了,原来不明白的你,现在明白了吗? 没明白, 很好,我以前跟你一样。 没事,再多搜搜 想想,不行再晾晾再回来, 会明白的。念念不忘,可能有回响,哈哈
最近总算搞清了这个,比较开心。分享这个过程。 人一但明白了某些东西,就回不到不明白的时候。。。生活学习通用。。呵呵
"穿干净的衣 睡舒服的床 读有益的书  爱值得的人 "是我很喜欢的一句话,读来/想来都觉得温暖,分享给喜欢探索未知的你。嘿嘿

 

 

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190828补充:

最近小组分享欧拉公式,其他不熟悉欧拉公式的同学,最大的疑问是:为什么 e^{i}可以代表旋转。他们可以理解 +i 以及 *i 能代表旋转;且 2 * 2 * 2 * 2 = 2^{4} ok没问题,但e^{i}  为什么能代表旋转?看起来是i个e相乘 ?  不能用欧拉公式来证明,这样就是循环证明了。(2^{i} = 2^{i ln2} 是沿圆周运动ln2弧度,但这已经是运用了欧拉公式的结论)

好问题,我从来没这样想过...

有两篇文章,可能可以解答:

https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/85095765   欧拉公式,复数域的成人礼

https://wenku.baidu.com/view/47451ebcb84ae45c3a358c23.html   复指数函数的定义问题 铜仁学院 孙小康徐松金

 

第一篇文章里:分别用极限/泰勒展开/导数的方式 来说明了。
用权限来理解  我觉得也比较好理解了,只要你愿意把x用i\Theta替换,已经从普通的幂 联系到了复数乘法:

e^{^{i}} = \lim_{n \to \infty } (1+\frac{i}{n})^{n}

n=3时:

(1+\frac{i}{3})^{^{3}} = (1+ \frac{i}{3}) * (1+ \frac{i}{3}) * (1+ \frac{i}{3})
用导数的方式来看,如果底数换成2或3  不能很好地代表旋转,甚至不能代表旋转,因为运动的速度 不像以e为底时,是垂直于e^{^{it}}的。 上面最后一张图 深蓝和浅蓝色的线 基本上也是错的,因为运动的速度和方向不是想象中那么好,可能在五度以内就跑到不知道什么方向去了,都不一定能到第二象限。。此图仅供初步理解想象
只有 e^{i} 才能代表圆周运动。


第二篇文章 从解析函数 柯西黎曼条件的角度说明了 为什么复指数能与三角函数来。且文章的最后提到:欧拉公式 左边的e 只是一个符号,并不特性2.718..那个无理数。 也就是说 貌似可以写成这样 ?

g^{ix} = cosx + isinx

但是当x = \pi 时:这个e肯定不能是其他值的。

e^{i\pi } +1 = 0

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